Revenons maintenant à l'équation (!) dans laquelle

les quantités P,Q, U,V sont en général des fonctions

quelconques de x. On remarquera d'abord que si le terme V était nul, c'est-à-dire si l'on avait simplement

cette équation aurait, comme l'équation (4), la propriété d'être satisfaite par la somme de plusieurs valeurs particulières multipliées chacune par une constante, ainsi qu'il est aisé de le reconnaître. Il suffirait donc alors de connaître no nombre n de valeurs particulières pour avoir immédiatement l'intégrale générale demandée.

442. Lorsque le dernier terme V subsiste dans l'équation (1), elle ne présente plus la même propriété. Néanmoins l'intégrale générale peut être obtenue au moyen de la mé*

thode suivante lorsqu'on connaît n valeurs particulières qui satisfont à l'équation (4).

Soient Y', Y", Y", YW les n valeurs particulières dont il

s'agit. Nous en formerons l'expression générale

dans laquelle À', A", A", Àw désignent maintenant des

fonctions indéterminées de x. En prenant les différentielles successives de cette expression, on aura d'abord

+ Sr+£r+£«-+ +^w.

et nous égalerons la seconde ligne à zéro, en regardant les

fonctions A', A", À", A(n) comme assujetties à satisfaire à

cette équation. Il viendra alors

dAf dï[ dM> dï» dST tfY» dAÇ-) rfyOO

dx dx dx dx dx dx dx dx

Égalant de même la seconde ligne à zéro, il viendra

+ dx dx1+ dx dx* + dx dx* + + dx dx* 9

où nous égalerons la seconde ligne à zéro; et ainsi de suite. Nous parviendrons de cette manière à

*•> ,«wr „*v *&** (•),M,,'

dx* dx* dx* dx* ils*

Al' d*-*Y' dA» d'-'Y" dA» d-'YV dAW*^

dx dx*~* (te «te"'1 dx dx*"1 dx d*4""1 '

et nous égalerons la seconde ligne à V.

Cela étant posé, il est visible que les valeurs y=Y, y=Y",y=Y*, y=Y^ satisfaisant séparément à l'équation (4), l'expression générale suivante y^AT + AT-f

A"T"-j- -fA00^"1 satisfera également à l'équation (l),

pourvu que l'on regarde les fonctions A', A", A*, Aw

comme assujetties à vérifier les n équations

rfVrfT dA^dT dATdjr dAW diw=0

dx dx dx dx dx dx " * dx dx '

dA' rf»r dA" rfnr" dA* rfnr «iam d»rw É

dx 2? + dx* "ïE1" + dx" "Sx7 + + ~dx* "S5"

dA' d*-'Y' dA" dr+f dA» dr+T dAW rf-*lN -

"dï" d*""1 dx dx*"1 + dx dx*"1 +****+ ^ |^-i ""

Or, ces équations étant linéaires donneront toujours pour

f , â. dA' dA" dA" ik** . . „t .

les fonctions -7-, -7—, -r-, "TT^T* ^es valcurs déterminées que nous représenterons par *', $", ♦", *<*>. L'exp*-

sion de l'intégrale générale cherchée sera donc

y==Y'(a,+Jdx.*0+r(a"+J^

et contiendra les n constantes arbitraires *', *%.....rf*>4 443. Si l'on ne connaissait qu'un nombre de valeurs pu-

ticulières moindre que le nombre n qui exprime Tordre de

l'équation différentielle proposée, la méthode précédente ne

pourrait pas être appliquée de la même manière. Les fonc-