XXXV. INTEGRATION PAR SERIES DES BQCATiONS DIFFÉRENTIELLES
161. Lorsqu'il n'est pas possible d'obtenir en termes fini*» par le moyen des méthodes connues , l'expression de la fonction qui est donnée par une équation différentielle, on peut chercher à obtenir cette expression sous la forme d'un développement en série infinie. Si la série est convergente, Impression dont il s'agit sera aussi propre que toute autre à faire connaître les valeurs numériques de la fonction cherchée.
Le développement en série de la fonction y donnée pa» l'équation différentielle
uiv;.!t.
peut s'obtenir en général au moyen de ce qui a été dit dans le
n* 427. Cette équation étant résolue par rapport à -r~ donnera
les valeurs de ce coefficient différentiel et des coefficients différentiels des ordres supérieurs correspondantes àx = 0; et en substituant ces valeurs dans l'expression générale
— « JL dy*~ -L ^0?! JL *% *i
»=*+<Gr +
+ w5r«â+etc,
dafi 2 ^ <te» 2.3
on aura le développement de la fonction y, dans lequel il restera les n coefficients arbitraires y0, -p., -—?, . y°.
Dans les cas particuliers où la supposition de a?=0 ren-
dnti drait infinies les valeurs de -r-^ et des coefficients différentiels
des ordres supérieurs, on remarquerait que la formule de Taylor donnée n° 80 , devient, en y faisant z=a, puis h = x—a,
*=*+ w~(*— *)+ w^ — ô— + w^r -s-jT + ^ irr + «te.
où l'on représente par ya, -^ , -r~ , etc. , les valeurs particulières que prennent y, -g, -7^, etc., lorsqu'on donne à x
2* Amnfs. 8
la valeur a. On déduirait donc de l'équation différentielle proposée les valeurs de-r-^, - — y?, . ^*9 etc., que l'on sub-
stituerait dans l'expression précédente. On pourrait d'ailleurs attribuer à a toute valeur qui ne rendrait pas infinies les valeurs des coefficients différentiels de Tordre n, et des ordres plus élevés.
462. Il est souvent plus simple et plus fecile de substituer à l'opération qui vient d'être indiquée! la méthode des coefficients indéterminés. Soit, par exemple, l'équation du ftoood ordre
On posera, pour satisfaire à cette équation,
y «= A**** À^+t +Atsa+*+ A,s*+H À*3*-M+etcf ,
A,,Aft, À,, etc., désignant des coefficient* constants indéterminés, et « un exposant également indéterminé. Si Von substitue cette expression de y dans l'équation proposée, il viendra
0 = Ao*(a— l^î+A^+l)***-* +AJ(a+2Xa+l)«a +A8(a+3Xa+2)|ara+i+A4(«+ûXa+3j|««+i+etC,,
équation où Ton fera disparaître les deux premiers termes du second membre, en supposant «c=0, et laissant indéterminées les constantes A0 et Ar Le troisième disparaîtra en supposant A, =0. Quant aux termes suivants, ils deviendront nuls en déterminant convenablement les coefficients A,, A;.
A„ etc., au moyen des trois premiers. Les valeurs de ce» coefficients seront données par les équations
-*» = £§ d'où l'on déduit A.«-|$
~AMr"9SÔ
etc.
etc.
La série qui donne l'expression cherchée de y est donc
4^Ï3 + Ï3Â6~ 2.3.5.6.8.9 + etC*/
+Al V*~ 34 + 3X&7 -3XêT7lâ5 + **)'
A, et A, sont les deux constantes arbitraires. 463. Si l'équation proposée était
Hl
lu substitution de l'expression
donnerait l'équation de condition
0 = VO*— IJxfr-a+Arfa+iJa +Ao + A,(«+3X«+2)|s*+i + etc.
On fait disparaître le premier terme en posant *=0 ou a = 4 , mais la première hypothèse ne peut être admise pane que le second terme ne pourrait alors disparaître qu'en supposant aussi A0 = 0. En faisant donc « = 4 , les coefficients différentiels seront déterminés par les équations
■-~Aj» u«2 — A| Ag — ■
— A^S.l^A,, d'où Ton déduit A,= — ~|
—A,,. 4.3- A, *•— ^DEÎM
-A4.6.4 = A, Ai = ___€to
— A5.5.6 = A^ etc.
Par conséquent l'équation est satisfaite par la valeur
Cette expression ne contenant qu'une seule constante arbi-
traire, présente bien une infinité de valeurs particulières de la fonction y , mais elle n'est pas l'intégrale générale de l'équation proposée. Il est aisé de reconnaître d'ailleurs que l'on ne peut satisfaire à cette équation par une série ordonnée suivant les puissances descendantes de x.
