Nous considérerons encore l'équation du second
ordre
En posant comme ci-dessus ,
y = A^+Ala*+i+h^*+k&+*+*kx*+*+ etc.,
et substituant cette expression dans l'équation proposée, 0 viendra
a^-l+Atfc+l)*
+Ai(« + i)
+Arf«+2) +A»
a«+*+ete.
On fait disparattre le premier terme du second membre en faisant a = 0 sans déterminer A0 ; mais alors le second terme ne disparaît pas, à moins que Ton ne fasse Àt =.0. De même on fait disparaître le second terme en posant a = — 1 , le coefficient A4 demeurant indéterminé, mais alors le premier terme ne disparaîtra pas, à moins qu'on ne suppose A0 =?0. Si Ton fait donc « = 0, les coefficients seront déterminés par les équations
A*sA«f d'Où IV» déduit A»=A,
etc. etc.
On satisfera donc à l'équation proposée par la série
(x* ac* a? \
Quant à la supposition de a = — i , il est aisé de reconnaître qu'elle conduirait à la même série que Ton vient de trouer. On n'obtient encore ici qu'une formule propre à donner des intégrales particulières, mais non l'intégrale générale de l'éqni' tion proposée*
465. Lorsque la substitution d'une série ascendante de la variable * dans l'équation différentielle ne donne qtfuw valeur particulière, cela tient généralement à ce que Intégrale oomplète doit contenir des termes affectés du lopriliu» de cette variable. Ayant trouvé, par exemple, poerPip* lion Diéoédcnte
tW + xdx+y -v*
ta valeur particulière
-f-etc.
on posera, pour obtenir l'intégrale complète, conformément à ce qu'on a vu dans les n0- 442 et 443 , y = AY', A désignant une fonction de x, ce qui donne
et
dx~*dx "*" dx1 • dx*~~ dx* dx dx dx*
Mettant ces valeurs dans l'équation précédente, et supprimant les termes affectés de À dont la somme est nulle, il restera pour déterminer A l'équation
1 dx**
Vd£ + *m = *>
qui devient, en posant — = t,
dt ( dï' TA dt 2dY' dx
1 /* tf#
d'où Ton tire f = -^j, et par conséquent A = l -^ On en conclut que l'expression de l'intégrale complète
est
« et è étant les deux constantes arbitraires. D'ailleurs
Çdx __ rdx J *Y"~J x
(i+a*»+«*»+ete.)=te+^- + -£-+eta.
!ft
! '• ft
a, 6, etc., désignant des coefficients numériques qu'il est facile de déterminer. Cette expression devient donc
»=(l-S+âS*-?tc-)[a+6(te+?+x+ete)}
XXXVI. ÉQUATIOHS AUX DIFFÉRENCES ORDINAIRES DU PMBDl 0RDRR A TROIS VARIABLES.
