Soit proposée l'équation différentielle

dans laquelle P, Q, R désignent des fonctions quelconques des trois variables x, y, z. Si cette équation est le résultat immédiat de la différentiation d'une équation primitive ?(È,y, z)=0, son premier membre satisfera aux conditions d'intégrabilité des fonctions différentielles du premier ordre à trois variables, et on pourra en trouver l'intégrale, qui devra être complétée par une constante arbitraire.

Mais si l'équation proposée résulte de l'élimination d'une constante entre l'équation primitive F(x> y, *) =0, et l'équation différentielle qui s'en déduit immédiatement, ou si l'on a supprimé après la différentiation un facteur commun à tous les termes, elle ne satisfera plus en général aux conditions d'intégrabilité. Néanmoins cette équation ayant été déduite d'une relation donnée entre les trois variables x, y, s, àoé deux d'entre elles, par exemple a: et y, peuvent être regardées comme indépendantes, et la troisième z comme fonction de ces deux-ci, il s'ensuit que tirant la valeur de dz qui sera

cette expression doit satisfaire à la condition générale de l'expression de la différentielle des fonctions de deux variables indépendantes; en sorte que l'on doit avoir

dy\K)~~dx\y9

ou , en faisant attention que x est contenu dans les fonctions P,QetR,

/rfP ,dPdz\ p(dK,dRdz\ *\dy + dzdy) ^{dy^ dz dy) fdQ dQdz\ (dR dRdz\ -^[di+dz dïjV\dx+dzdïr

Mettant pour -7- et -7- leurs valeurs— — et — -et réduisant, r ix dy R R \

il vient

Cette équation exprime la condition nécessaire pour que Ton puisse regarder dans l'équation proposée deux quelconques des variables comme indépendantes, et la troisième comme une fonction des deux autres. On pourra alors considérer l'équation dont il s'agit comme appartenant à une surface.

467. Lorsque l'équation de condition que l'on vient d'obtenir fournit une valeur de *, par exemple, en fonction de x, y, pour laquelle on ait

Vdx + Qdy + Rdz = 0,

on se trouve satisfaire à cette dernière équation sans avoir eu rien à intégrer. Mais quand l'équation de condition indiquée est vérifiée identiquement (et elle doit l'être si l'équation diffé-

rentielle a une intégrale F(x, y, m) =0 contenant eue constante arbitraire qui n'entre pas dans P, Q, R)> alors la recherche de l'intégrale se ramène à l'intégration d'une équation à deux variables seulement. En effet, regardons la variable: comme constante, et supposons par conséquent (fc=0; l'équation proposée se réduit alors à

Vdx + Qdy—0,

qui appartient à une section quelconque laite dans la surface par un plan parallèle au plan des xy, à une distance de ce plan marquée par la valeur constante attribuée à la coordonnée z, dans les fonctions P et Q* Si Ton parvient à intégrer cette équation en rendant son premier membre unedifferentielle exacte en x et y an moyen d'uA facteur X, fl ftodn regarder la constante qui complétera cette intégrale cornctf une fonction de z : nous représenterons donc l'intégrale don: il s'agit par

Z désignant une fonction de z seule. Or, en différente cette dernière équation en y faisant varier x , y, *, il viendn

c'est-à-dire

Kfdx + Qdy) + ^ dz =<ÉL

De cette équation combinée avec

Vdx + Qdy + Mz = 0 , je tire

et comme Z est une fonction de * seule, le second membre doit se réduire aussi à une telle fonction en éliminant une des variables x, y, au moyen de l'équation <p(x, y, z)=Z; la variable a: ou y étant chassée ainsi, l'autre y ou x doit disparaître d'elle-même, en sorte qu'il ne restera qu'une équation différentielle entre z et Z. Cette équation étant intégrée, donnera l'expression de Z en z, avec une constante arbitraire; et en remplaçant Z par cette expression dans l'équation o(.r,y,z) = Z, on aura l'intégrale cherchée.

468. Soit proposée, par exemple, l'équation différentielle suivante,

$xz+z*)dx+1yzdy— 2(a£+yf +b)dz = 0 ,

pour laquelle l'équation de condition du n° 466 est identique En y regardant z comme constante, elle se réduit à

(2*+z*)dx+2ydy = t>t

où les variables sont séparées, et dont l'intégrale est

Z étant la constante arbitraire, que nous regardons ici comme une fonction de*. Différentiant cette dernière équation en faisant tout varier, il vient

[2z+z')dx+'2ydy+2xzdz=(tL t

que l'on peut changer, en ayant égard à l'équation proposée, eu

Remplaçant dans cette équation y* par sa valeur déduite de

l'équation x* + y1 + xz* = 2 , la variable x disparaîtra, et il viendra amplement

équation dont l'intégrale est

as« = z-f6,

a désignant la constante arbitraire. Mettant donc pourZ la valeur qui se déduit de cette équation dans x'+y'+xi'^Z, il viendra

qui est l'intégrale cherchée.