XXXVIL EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE

470. Soient deux variables indépendantes a? et y et une troisième variable z qui est regardée comme une fonction

des deux premières : — et — représenteront les coefficients

différentiels partiels de la fonction z pris respectivement par rapport à a? et à y; en sorte que si x augmente de dx,

l'accroissement de z sera — dx; et si y augmente de dy , ax

l'accroissement de z sera -fdy. Une équation aux différences partielles du premier ordre entre les trois variables x,y,x exprime en général une relation entre les quan-

dz dz tités x, y>z>'7Zi"7~9ti' peut être représentée par

J dz dz\ A

f étant le signe d'une fonction quelconque. Il s'agit de concevoir la signification d'une telle équation , et comment peut être formée l'équation primitive à laquelle elle doit correspondre.

En général , les variables indépendantes x , y peuvent être

l^yd

regardées comme deux abscisses rectangulaires horôoatales, et la variable * comme une ordonnée verticale. Ainsi * étant regardée comme une fonction de x et y, ym relation entre ces trois variables sera considérée comme l'équition d'une surface définie par l'équation proposée. Cela posé, étant donnée l'équation

J dz dz\

supposons que l'on cherche à construire la surface qu'eue doit représenter. On déduira de cette équation la valeur de

l'une quelconque des quantités x,y$x,—y— lorsque les

quatre autres auront été données; par conséquent, on peut concevoir que la construction s'opère de la manière suivante. Traçons dans le plan des xz une courbe quelconque qœ nous regarderons comme l'intersection de la surface cherchée par ce plan. Pour un point quelconque de cette court*

dz on connaîtra 0, y dont la valeur est nulle, % et j- ; l'ôqua-

iz

tion proposée donnant —, la direction du plan tangent à la

surface cherchée est déterminée dans toute retendue de la courbe dont il s'agit. Si donc on conçoit un plan mené parallèlement au plan des xz à une distance très-petite Ay, oa connaîtra l'intersection de la surface par ce plan avec une exactitude d'autant plus grande que ày sera plus petite. On pourra se servir de cette intersection pour construire de la même manière une nouvelle intersection avec un second plan mené à la distance Ay du premier; et ainsi de suite. Ainsi la surface est en général déterminée dans toute ion

étendue, au moyen de l'équation différentielle, lorsqu'on s'est donné arbitrairement l'intersection de cette surface par un plan parallèle au plan des xz. Il est évident d'ailleurs quelle le serait également si Ton se donnait l'intersection de la surface par un plan parallèle aux y*.

On pourra voir, par ce qui précède, que l'équation différentielle proposée appartient à une infinité de surfaces différentes, qui ont toutes un caractère commun exprimé par cette équation. La figure de chaque surface dépend de celle de la courbe arbitraire par laquelle on Ta fait passer. Si Ton veut que l'intégrale de l'équation proposée ait une signification aussi étendue que cette équation elle-même, elle doit représenter toutes les surfaces dont il s'agit. Cette intégrale, outre la condition de satisfaire à l'équation différentielle proposée, doit donc contenir une fonction arbitraire,

471. On reconnaît la vérité de cette proposition en remarquant que si Ton a une équation primitive contenant une fonction indéterminée, on peut toujours en déduire une équation du premier ordre où cette fonction ait entièrement disparu. Soit par exemple l'équation

F[*,yf*,i>(u)]wOf

dans laquelle F et <? sont des signes de fonction , et u représente une certaine fonction de x,\),z. En différentiant successivement par rapport à x et à y, il viendra

dF ç|F dz dF d dw + dz d» + d.f(u)

d¥ d? dz dF dy + dz dy + d.tfu)

L9W(du,dudz\.n du \dx^ dzdx)~~"'

d.tfu)(du du <te\ __ du [ïï + dgdy)-0-

Éliminant ensuite <p(u) et -^~ entre ces deux équations

et l'équation primitive, il restera une équation différentielle du premier ordre dans laquelle la fonction <p n'entrera point. Cette équation exprimera une relation qui subsiste quelle que soit la forme qui, dans l'équation primitive, pourrait être attribuée à la fonction <p.