Considérons en général une équation primitive

F(fffyfs,a,6)=0 (i)

dans laquelle a, b désignent deux constantes. En différen-

tiant successivement par rapport à £ et à y, on aura les deux

équations

d? , dF dz

tfF tfF dz \ dx+ dzdx-*9

dF dF dz^g.

dy + dzdy-0',

et Ton pourra éliminer les constantes a et b , entre ces équations et l'équation primitive. On obtiendra de cette manière une équation différentielle du premier ordre dans laquelle ces constantes auront disparu, et qui par conséquent exprimera une propriété entièrement indépendante des valeurs particulières qui pourraient leur être attribuées. Nous représenterons cette équation par

On voit, en premier lieu, qu'étant donnée l'équation (3 » on peut lui chercher une intégrale, ou équation primitive, qui contienne deux* constantes arbitraires.

Mais si Ton regarde a, dans l'équation (1), comme une quantité variable , et b comme une fonction de a, les deux équations différentielles qui en dériveront seront alors

* 4. f? *? 4. A? v «? d*\ (A* . àa dz\

«te "*" dzdx + \da+ dbda) \dz+ dzdx)"Df

** 4. * îf? j./* i. ^F ^\ A*1 . «k *£\ - A

Or, ces deux équations ne différeront point des équations (2), pourvu seulement que Ton ait l'équation

dF dFcto <to+d6d<i *

Donc l'équation (1) conduira toujours à la même équation aux différences partielles (3), lorsqu'on y regardera a comme variable, et b comme une fonction quelconque de a, pourvu que a soit pris de manière à satisfaire à l'équation dF ifFift da + dbda-

II suit de là , qu'étant donnée une équation aux différences partielles du premier ordre, si l'on a trouvé une équation primitive F=0 avec deux constantes arbitraires a et b, qui satisfasse à cette équation, on aura une solution beaucoup plus étendue, en prenant 6=<p(a), et déterminant a par l'équation — + -rr -r- = 0. La fonction <p est

la fonction arbitraire qui donne à la solution la généralité nécessaire.

473. Il est bon de remarquer que l'on pourrait également, dans l'équation primitive (1), regarder a et & comme

2* Attirée. 9

deux quantités variables indépendantes l'une de Partie, et que Ton aurait alors les deux équations dérivées,

dF dF «te . d?/<to . d* d?\ .*?/** . ^ ^\=o ite + (teite + <iaV^^^y^V^^^/ ' dF dF dz <&(da éa dA.dF/dbdbdz\ù 3y + dz dy + d* \df + de c%; + de V*y + d* #/"

que l'on ramène aux équations (2) en posant ^ = 0, et ^ = 0.

Par conséquent si l'équation primitive F=0, contenant les deux constantes arbitraires a et 6, satisfait à une équation aux différences partielles proposée, on voit que l'on y satisfera encore en mettant à la place de a et 6 dans cette équation les deux valeurs en x, y, * de ces quantités tirées

dF dF

des équations -r-=0, -jt = 0. Mais le résultat que loo

obtiendrait ainsi ne contient pas de fonction arbitraire, et il a* dorfoe qu'une solution ou une intégrale particulière de l'équation proposée.

474. Dans la géométrie, l'équation (1), avec deux ouatantes arbitraires, représente une infinité de surfaces conespondautes à toutes les valeurs que Ton peut attribuerai constantes, et auxquelles appartient toujours l'équation 110 différences partielles (3). Lorsque Ton prend 6 =9 (<*)> ? *** le signe d'une fonction quelconque, on considère la série de surfaces qui résulte de la fonction ? lorsque Ton attribue à

a toutes les valeurs possibles depuis— g jusqu'à + r» *>

mettant à la place de a , dans l'équation F[x3 y, s, a ,?(«)] 5= 0, la valeur a + da, le résultat, que noua représenterons par

dF P -f- — da = 0, appartiendra à une surface comprise dans

cette série , et infiniment voisine de la surface représentée par l'équation F = 0. Donc le système de ces deux équations

dF dF

F=0etF + -j-da=0, <m simplement F = 0 et -r-=0

[puisque la première fait disparaître le premier terme de la seconde quand on les regarde comme subsistant ensemble), appartient à la ligne d'intersection des deux surfaces consécutives, ligne que nous désignerons, d'après Monge, par le nom de caractéristique. Et si Ton élimine entre les deux équations dont il s'agit, la quantité a, le résultat, qui sera une équation entre œ, y, *, appartiendra à la surface lieu de ces lignes d'intersection , c'est-à-dire à la surface eriveloppe des surfaces qui résultent de l'équation F[x, y, z, a, tp(a)]=0, quand on y donne à a toutes les valeurs possibles. Or, l'équation différentielle proposée doit évidemment appartenir à cette surface enveloppe, puisque le plan tangent étant toujours commun aux enveloppées et à l'enveloppe, les valeurs

dz dz de — et j- , qui déterminent la direction de ce plan, leur

doivent également être communes. Après que l'on a mis <j (a)

\ dF

à la place de », l'équation j-ïsO ne diffère point de l'équa-

dF , dF d b tion -3- + — r = 0dun° 472. On retrouve donc la soluda db da

tion générale de l'équation proposée, exprimée par le système des équations F(a?,y,*,a,6)=0 et j-+-rr 17=0>

en mettant une fonction quelconque o(a) à la place de è,puis éliminant a entre ces deux équations.