De plus, si dans l'équation F (a:, y, *,a,6)=0on
dF fait varier la quantité a seule, ce qui donne F-f — da = 0;
dF puis la quantité b seule, ce qui donne F + — d6=0, le sys-
dF tème des équations F = 0 et — = 0 représentera une cane-
da
téristique appartenant à une certaine surface enveloppe; et
dF le système des équations F = 0 et — = 0 représentera une
autre caractéristique appartenant à une autre surface enveloppe
infiniment voisine de la première. Donc le système des trois
dF dF
équations F=0, -t- = 0, -jt = 0 appartiendra aux points
d'intersection de ces deux caractéristiques ; et par conséquent., si Ton élimine a et b entre ces trois équations, l'équation en x, y, x qui en résultera, représentera la surface lieu de tous ces points d'intersection, c'est-à-dire une surface qui touche et enveloppe elle-même toutes les enveloppes dont il a été question ci-dessus, et qui est touchée par toutes les caractéristiques ; surface à laquelle l'équation différentielle proposée doit encore appartenir, mais qui ne répond évidemment qu'à une solution particulière de cette équation.
Nous ajouterons qu'il existe généralement plusieurs équitions différentes, analogues à l'équation (1) du n° 472, contenant deux constantes arbitraires, qui peuvent conduire à la même équation différentielle .(3), et produire les mêmes surfaces enveloppes auxquelles répondront l'intégrale générale de cette équation et la solution particulière dont il vient d'être question.
Intégration des équations linéaires aux différences partielles du premier ordre.
476. Une équation aux différences partielles est linéaire lorsque son second membre étant rendu nul, l'autre est une fonction du premier degré des coefficients différentiels. Le cas le plus simple est celui où l'équation exprime l'égalité à zéro d'une somme de produits de ces coefficients multipliés par des constantes. Les équations de ce genre ont la propriété d'être satisfaites par la somme d'un nombre quelconque de valeurs particulières, propriété qui donne immédiatement l'intégrale.
Soit en effet l'équation
dz dz
dans laquelle P et Q sont des nombres constants. Prenant pour valeur particulière (m et n étant des constantes)
et substituant cette valeur dans l'équation proposée, il vient mP + nQ = 0, d'où n = — ^.
La valeur * = em(-r~o), ou js = e>»(Q*-Pif), dans laquelle m demeure indéterminée, satisfait donc à l'équation proposée. Ainsi, Ton peut prendre pour expression de la fonction x une série formée d'un nombre quelconque de termes, telle que
z = At*»t(Q*-PiO + Afe*t(Q*-l,rt -p A,*H(0*-**> + etc. ,
dans laquelle m,, m^n^, etc., A|y At, At, etc., désignent des constantes entièrement arbitraires. Or il est visible qu'une telle série équivaut à une fonction arbitraire de la quantité Q* — Py qui se trouve dans tous les termes. La formule précédente peut donc s'écrire
f étant le signe d'une fonction arbitraire , Bt Ton aura ainsi l'intégrale générale de l'équation proposée* On vérifie en effet, que cette expression de * satisfait à l'équation dont il s'agit.
