Considérons maintenant l'équation
dans laquelle P# Q, R désignent des fonctions queloooqnes des variables x, y, *. Représentons par
une intégrale de cette équation. En la diflférentiant successivement par rapport à r et y, il viendra
EL df df dz ., . dz dx
dz
dl+dld* d'où £■—**.
dy+ dy dx~9' ao° dy~ df
dz
et comme ces valeurs de -j- et — doivent satisfaire à l'équation proposée , on trouve, en les y substituant, l'équation
En différentiant complètement l'équation f(x, y,*)=0,oo a d'ailleurs
Prenant dans cette équation la valeur de ^ et la substituant dans l'équation précédente, il viendra
(Pdy-Qrf»)^+(Pite-IUix)^ = a. («
Maintenant j'observe que l'équation (4), considérée en ellemême, indépendamment de ce qui précède, est évidemment satisfaite , quelle que soit la fonction f(x, y,z) , par les valeurs de x, y, x qui vérifient les équations
P<fy— Qdx=0, Pdz— R<£r = 0.
Ces deux équations aux différences ordinaires, qui 4o reste entraînent celle-ci Qcfc— - Rdy = 0, de manière qu'on peut les écrire
dût ' __dy.dz
ont une liaison intime avec l'équation aux différences partielles proposée. Admettons que de ces équations, ou d'une combinaison quelconque de ces équations, on ait réussi à déduire deux équations primitives ou intégrales, contenant deux constantes arbitraires , et que nous désignerons par
a et b étant les deux constantes arbitraires, et M, N des fonctions de x, y, *• Les valeurs de x, y, en z, a, b, qu'elles fournissent, vérifient l'équation (4), quelles que soient les constantes a, b et la fonction /; et il est clair de plus qu'elles réduiront à une constante toute fonction de ar,y, z de la forme *(M, N), car par la substitution elles la changeront en *(a, b). Si donc on prenait pour f(x, y, x) une telle fonction, on aurait df=0, c'est-à-dire l'équation (3) aurait lieu en même temps que l'équation (4). Or en multipliant l'équation (3) par P et en en retranchant l'équation (4) , on arrive à l'équation (2). Celle-ci est donc satisfaite quand on pose f=4>(M, N) , et même elle Test sans aucune intervention des équations M = ô, N = 6, car à cause des constantes arbitraires a et b , on peut faire répondre à une valeur de je à volonté des valeurs de x et y aussi à volonté. En d'autres termes, on vérifie l'équation (2) en posant f=<D(M, N) et regardant x, y, x comme des variables indépendantes. Ainsi l'équation f[x,y, z) = 0, avec la forme citée de f, vérifiera l'équation (1); on s'en assure en remontant de l'équation (2) à l'équation (1) par un calcul inverse de celui qui a conduit de l'équation (1) à l'équation (2). Donc, enfin, l'intégrale générale de l'équation (1) est
+(|f,N)=:«9 on si Ton veut N=^(M),
♦ ou f désignant tme fonction arbitraire.
479. Les notions géométriques indiquées dans le tf 474 , conduisent au même résultat. Remarquons qu'à l'équation proposée
se réunit toujours l'équation
. dz . , dz .
dz Sx
Éliminant t;, ou —, on trouve les deux équations distinctes
(P«flf — Qda?) j^ e= Vdz — R4s.
Admettons à présent que x, y, z désignent les coordonnées d'un point quelconque de la caractéristique, et que les diflérentielles <to, <fy, dt soient prises sur cette ligne. Comme elle résulte de l'intersection de deux surfaces consécutives qui satisfont £ l'équation (1), les deux équations ci-dessus dette dz vront avoir lieu pour les valeurs de j- et -r- qui appartiennent à Tune ou à l'autre de ces surfaces. Or les équations do premier degré ne peuvent avoir plus d'une racine sans devenir identiques. On a donc pour la caractéristique les W
tyntions
Pdy—Qdx-0%
dont deux quelconques entraînent la troisième. Si Ton dédoit de ces équations différentielles deux équations primi-^ tives, sous la forme
elles représenteront toutes les caractéristiques possibles en y faisant varier à volonté les constantes a et 6. Mais si l'on regarde b comme une fonction quelconque <p de la quantité a, tes deux équations
oe représenteront plut que la série dei caractéristiques qui sera déterminée par la nature de la fonction <p lorsqu'on fera
Varier a depuis — - jusqu'à -f- ;;• Enfin si Ton élimine a
entre ces deux dernières équations, le résultat de cette élimination, qui est
appartiendra à la surface lieu de cette série de caractéristiques, c'est-à-dire, vu l'indétermination de la fonction <p, à Tune quelconque des surfaces enveloppes auxquelles appartient l'équation proposée, et qui sont représentées par son intégrale générale.
480. On a supposé, dans ce qui précède, que l'on poarrat déduire des équations différentielles de la caractéristique (qui sont aussi celles dont on s'est servi au n° 478) deoi équations primitives M=a et N=6 ou N=<p(a). Cela nous était permis. En effet, si l'on considère deux de ces équations différentielles, telles que
Prfz— Rite = Of Qrfz— Rdy = 09
on remarquera que puisqu'elles appartiennent à une combe, on ne peut plus y regarder qu'une seule des variables comme indépendante. Prenons, par exemple, x pour variable indépendante : ces deux équations contiendront, outre les valida? dxi blés xy y, x, Tune -p, l'autre -p. Différentiant la promit» dx dx
dx dn on aura une équation du second ordre contenant -r,^
dPx
— . On a donc maintenant trois équations entre lesquelles
dy on peut éliminer y et j- : le résultat de l'élimination sera
une équation aux différences ordinaires du second ordre entre les variables x et x seules.
Cette équation, conformément à ce qu'on a vu n* 47i a nécessairement deux intégrâtes du premier ordre ayant chacune une constante arbitraire. Admettons que Ton obtienne
dx ces intégrales qui contiendront toutes deux — . On pount
ix A éliminer cette fonction au moyen del'équation P— R -v=°«
et il restera par conséquent deux équations contenant cba-
cane les variables x, y, z et une constante arbitraire. Mettant ces deux équations sous la forme
elles donneront, comme on l'a dit ci-dessus, l'intégrale générale de l'équation
savoir
dz dz
On voit par là que l'intégration de l'équation linéaire aux différences partielles du premier ordre à trois variables se ramène toujours à l'intégration d'une équation aux différences ordinaires du second ordre à deux variables.
481. La méthode exposée dans le n° 478, s'applique également aux cas où l'équation aux différences partielles proposée contient un plus grand nombre de variables. Si cette équation est
et qu'elle ait une intégrale représentée par
en différentiant cette intégrale successivement par rapport aux variables x, y, z, on en déduira
df df df
dv <** f?Ç. dy dv __ dz
di" df' dy~ df9 dz~~ d£*
do dv dv
- USee qui donne, en mettant ces valeurs dans l'éqntioa primitive
On a d'ailleurs, en difféwntiant l'éqaatioB /sO p» rtppoK à toutes les variables v, x,y,z,
Éliminant -r entre cette dernière équation et la précâblé. on trouvera
A présent j'observe que cette dernière équatiw, priées elle-même, sera satisfaite quelle que soit la foocta A « Ton pose
T<te— Pcfo=o§
Tdy— Qdp=xOf
T<k — fUfo:=0;
d'où résultent les trois autres équations
Prfy—Q<te=ef P<te— ÏUtr = Ot Qdz— Rdy = 0.
Si donc on trouve pour trois quelconques des équationsdoDt il s'agit, trois intégrales telles que
a,b, c désignant des constantes arbitraires, les valeurs de x, y, z en t?, a, 6, c, qui vérifient ces intégrales, satisferont à l'équation (IV), quelles que soient les constantes a, b> c et la fonction / De plus, si Ton prend /*=*(L,M,N), elles réduiront f à une constante et donneront df=Q, en sorte que l'équation (III) aura lieu aussi. Remontant de là à l'équation (II), et se souvenant que a,b,c ont des valeurs quelconques, on verra que cette équation (II) est satisfaite en posant />=4>(L, M, N) et regardant x, y, z comme des variables indépendantes. Et de là il suit aisément que l'équation (I) est vérifiée avec cette valeur de /, en faisant /=0. On obtient ainsi l'intégrale cherchée de l'équation (I), sous la forme
4>(L,M,N)=0, ou N = <p(L,M),
* ou <p désignant une fonction arbitraire.
On opérerait d'une manière semblable si le nombre des variables indépendantes était plus considérable.
482. On doit distinguer le cas où un terme manque dans l'équation aux différences partielles
dz dz
parce qu'alors l'intégration ne dépend plus que de celle d'une équation aux différences ordinaires du premier ordre.
Supposons, par exemple, que le premier terme manque, ou que l'on ait P = 0. Les équations de la caractéristique des n- 478 et 479, se réduisent à
Qdz — Rdy = 0.
La première donne
a désignant une constante arbitraire, ce qui indique que la caractéristique se trouve constamment dans un plan perpendiculaire à Taxe des x ; x étant constante, on ne regardât plus comme variables dans la seconde équation que y et * I Soit
l'intégrale de cette équation. Mettant x à la place de a dam le second membre, l'intégrale cherchée sera donc
483. Nous pouvons appliquer la méthode précédente aux cas simples traités nM 476 et 477. Dans le cas du n* 476, P et Q sont constantes, et R=0. Les équations de la caractéristique deviennent
Pdy— Qda?=Of
Leurs intégrales sont
P|f—Qdî = a,
L'intégrale générale cherchée est donc, conformément à ce qu'on a vu dans le n° 478, et comme on Ta trouvée n° 476,
