Dans le cas du n° 477, l'équation proposée étant

P et Q sont constantes et R = z. Les équations de la caractéristique deviennent

Prfy — Qrfa? = 0, ?dz — zdx = 09 Qdz—zdy=.0.

Elles s'intègrent toutes trois, et donnent pour intégrales

Vlz — x = const.

Vlz — y=:const.

a, 6, c, désignant trois constantes arbitraires. Ainsi, conformément à ce qu'on a vu n° 478, on pourra prendre pour l'intégrale cherchée

z.e P = <p(Py— Qx) ou z.e Q = <KPy— Q#),

? et ^ désignant toujours des fonctions arbitraires, ce qui s'accorde avec le résultat obtenu d'une autre manière n° 477. Quant à la troisième équation qui résulterait de la combinaison de la seconde des deux équations de la caractéristique avec la troisième, et qui serait

z.e Q=za\z.e *)9

<& étant le signe d'une fonction arbitraire, elle est comprise dans les deux autres, et ne donne rien de plus. En effet,

2' kmtv. 10

celles-ci indiquant que z.$ * et ê.e 9 sont toutes deux

fonctions de la même quantité Py — Qx, il en résulte nécessairement que les deux quantités dont il s'agit sont fonctions Tune de l'autre. On a déjà remarqué d'ailleurs que ces deux premières équations expriment la même chose, et équivalent entièrement Tune à l'autre.