Soit, comme nouvel exemple, l'équation très-simple

ûz dz A

ydï-Xdy = «-

Les équations de la caractéristique se réduisent à

ydy + xdx = 09 d'où ^-f^>=at dz = 09 z=.tfa).

L'intégrale de l'équation proposée est dono

? désignant Une constante arbitraire. En effet, l'équation

y -, «-=0 étant considérée dans la géométrie ex-

dx dy

prime que la projection sur le plan des xy de la normale à U surface à laquelle appartient cette équation passe toujours par Porigine des coordonnées; ou, si Ton veut, que la normale rencontre toujours l'axe des z. Cette propriété convient à toute surface de révolution dont Taxe coïncide avec laxe des z, et ne convient qu'à une surface de ce genre. Or, il est visible que l'équation primitive * = ?(#* + y1) exprimant que l'ordonnée ne varie pas lorsque la quantité a*+ f demeure constante, ou que l'intersection de la surface par un

plan perpendiculaire à Taxe des z est un cercle, appartient également à toute surface de révolution décrite autour de Taxe des z par une ligne quelconque. Cette équation a le même degré de généralité que l'équation différentielle.

Une équation analogue à l'équation qui a été désignée par ¥(x, y y z, a, 6) =0 dans le n° 472, est ici

qui représente une surface sphérique quelconque dont le centre est placé dans Taxe des z. Si Ton prend en effet les deux équations aux différences partielles du premier ordre, qui seront

x + (z— a)j^=Of

ce qui fait disparaître immédiatement la constante b, et si l'on élimine entre elles la constante a, on trouvera l'équation prodz dz

posée y

x — = 0. Mais cette dernière équation n'ap-

partient pas seulement à toute sphère dont le centfe est placé sur l'axe des i. Elle appartient également à toute surface enveloppe des positions successives qu'occuperait une sphère dont le centre se déplacerait sur l'axe des z par la variation de la constante a, et dont le rayon b varierait en même temps suivant une loi quelconque exprimée par la relation ksâ?(a). Cette surface enveloppe, qui serait donnée par l'élimination de a entre les deux équations

après la détermination de la fonction <p, serait évidemment

une surface de révolution dont Taxe coïnciderait avec Taxe des z. D'ailleurs la seconde des équations précédentes donne évidemment z fonction de a, ou a = F(z). Mettant pour a cette valeur dans la première, on en déduira comme ci-dessus, z = *(x* + y*).

On peut aussi regarder comme une intégrale avec deux constantes arbitraires de l'équation aux différences partielles proposée l'équation

qui représente la surface d'un cône droit quelconque dont l'axe coïncide avec Taxe des z. La constante b est l'ordonnée du centre du cône, et la constante a la tangente de l'angle compris entre Taxe des z et l'arête. En différentiant successivement par rapport à x et à y, il vient'

équations qui, par l'élimination des constantes a et 6, don-

dz dz nent y a?-— =0. L'enveloppe des positions successives qu'occuperait le cône en faisant varier a dans l'équation œ*+y* — a* [z — «p (</)]' =0 est évidemment une surface de révolution autour de l'axe des z dont la figure dépend deb fonction <p, et à laquelle appartiendra également l'équatk» différentielle proposée. L'équation de cette surface àt Solution se trouvera en éliminant a entre les deux équations

* + *-tf[*-?(a)P = Of et ' 2 tfa)-fl-j^

Or, la seconde indique que z est une fonction quelconque de a, et par conséquent a une fonction quelconque de x; doù

l'on voit par la première que z doit être une fonction quelconque de x*+yf, comme on l'a trouvé ci-dessus. 486. Considérons encore l'équation

dz , dz

Les équations de la caractéristique seront

xdy — ydx = 09 xdz — zdx = 0 , ydz — zdy = 0.

Toutes trois sont immédiatement intégrables, et on trouve en les intégrant

a, b, c désignant toujours des constantes arbitraires. On peut donc prendre pour l'intégrale de l'équation proposée l'une ou l'autre des trois équations

dont la troisième est comprise dans les deux premières. Ainsi l'intégrale générale se forme ici de l'une ou de l'autre des expressions

Dans la géométrie, l'équation proposée

dz , dz

sur-

exprime que les plans tangents à la surface à laquelle appartient cette équation passent tous par l'origine 0 des coordonnées, propriété qui convient à toute surface conique dont cette origine est le centre ou sommet, et qui ne convient qu'à ces surfaces. Or, il est visible que les équations

-=<P ('-), ou •-=+ (-J caractérisent également les

faces dont il s'agit, puisqu'elles expriment que les rapports

- ou - demeurent constants en même temps que le rapport x y

— ; ou si Ton veut, que tout plan mené par Taxe des x coupe

la surface suivant une ligne droite passant par le point 0.

L'équation analogue à l'équation F(x, y,*>a,6)=0 du

n° 472, est ici

aaj + 6y— 2=of

qui appartient à un plan quelconque passant par l'origine <te coordonnées, lorsqu'on y regarde a et 6 oomme de» constantes arbitraires. Ses deux équations différentielles du premier ordre sont

et donnent par l'élimination de a et 6 l'équation proposée; cette équation appartient non-seulement à ce plan, mais à toute surface enveloppe de l'espace que le plan parcourrait en le faisant mouvoir par la variation des constantes a et 6, sans qu'il cessât de passer par l'origine des coordonnées, surface qui serait évidemment une surface conique dont l'origine des coordonnées serait le centre. On en aurait l'équation

en prenant 6 =ç (a), et éliminant a entre les deux équation*

ax + tfaty— 2 = 0 et x +

Or, la seconde donne - = fonction de o, ou a = fonction

de-. On déduira donc de la première == fonction dô -. conformément à ce qu'on a trouvé ci-dessus.

XXXVIII* ^QUATIOffB AUX DIFFERENCES PARTIELLES , LBIIAIltl IT A ÇOBfFIOBVTS COlfSTAJfTS, d'uH ORDRE QUELCONQUE.

487. Les équations dont nous allons nous occuper méritent une attention particulière, parce que c'est par leur moyen qui les géomètres ont exprimé, dans les cas les plus simples, ei que Ion peut appeler normaux, les lois générales des principaux phénomènes dont l'étude est l'objet de la philosophie naturelle. Elles ont pour caractère propre de pouvoir toujoufi être satisfaites par une infinité de solutions particulières, comprises dans une même formule, que l'on peut regarder comme une sorte de type analytique, auquel appartient la propriété dont l'équation différentielle est l'expression. L'ensemble de ces solutions donne sur-le-champ une intégrale générale dans laquelle il se trouve des quantités arbitraires , qu'il s'agit de déterminer ensuite d'une manière conforme aux conditions spéciales appartenant à chaque question.

Considérons, par exemple, l'équation du second ordre suivante entre les deux variables indépendantes*" xy y et la variable z supposée fonction des deu* autres,

<Pz , n<Pz , adz , -dz .

'5^ + B^+sS+T^+D*=0'

dans laquelle P, Q, R, S, T, U représentent des quantités constantes quelconques. Nous aurons ici pour la valeur particulière qui satisfait -à cette équation

m, n désignant des constantes, pourvu que ces constantes satisfassent elles-mêmes à l'équation 'de condition

Pm1 + Qmn + Pnt + Sm + Tit + U = 0;

et comme cette équation permet de prendre arbitrairement Time des deux quantités m ou n, on voit qu'il existe une infinité de systèmes de valeurs réelles ou imaginaires qui peuvent être attribuées à ces deux quantités, avec la condition d« rendre l'expression z==c**+n,r propre à vérifier l'équation proposée.

Gette équation serait également vérifiée par la somme d'un nombre quelconque de valeurs semblables à la précédente, affectées chacune de coefficients constants quelconques. On peut donc écrire

z = ke*"*** + k^i***^ + Àfe"t*+*î» -f etc. ,

et cette expression sera l'intégrale générale de l'équation proposée, si lp série comprend tous les systèmes en nombre infini de valeurs de m et n qui satisfont ensemble à l'équation de condition précédente. Les coefficients constants A, A,, At, etc., restent entièrement arbitraires. Cette expression de x doit être regardée comme ayant le même degre <k généralité que l'équation différentielle elle-même.

Ces notions peuvent évidemment être étendues à toute équation différentielle du même genre, quel que soit le nombre des variables indépendantes et Tordre de l'équation.

488. Les questions qui ont été résolues par l'intégration des équations aux différences partielles, appartenaient principalement à la théorie du mouvement de la chaleur, ou à la mécanique. Dans les premières, la température d'un point donné d'un corps est regardée comme une fonction du temps ' et des trois coordonnées de ce point. L'équation différentielle exprime certaines relations qui doivent subsister entre les coefficients différentiels partiels de cette fonction, relations qui dérivent immédiatement du principe de la communication de la chaleur et qui sont communes à toutes iesques- . tions. L'intégrale doit satisfaire à ces relations, et de plus à certaines conditions particulières, qui dépendent de la figure du corps, du mode d'échauffement ou de refroidissement, enfin de l'état initial des températures des divers points. Pans les questions de mécanique, où l'on considère le mouvement d'un système de corps, on regarde les coordonnées variables des points qui se déplacent, comme des fonctions du temps et de leurs coordonnées initiales. Les équations différentielles expriment les lois générales du mouvement. Les intégrales doivent satisfaire à ces équations, aux conditions particulières du système, et représenter, quand on y suppose le temps nul, l'état initial de repos ou de mouvement dans lequel ce système se trouvait à l'instant d'où le temps est compté. Pour donner, dans les cas les plus simples, une idée de la manière dont ces intégrales se forment, on considérera les questions suivantes.

489. Concevons, comme dans le n° 448, une barre cylindrique ou prismatique dont les dimensions transversales sont très-petites. Admettons que cette barre, d'une longueur déterminée, ait été primitivement échauffée d'une manière quelconque, puis placée dans un milieu dont la température

— Inconstante est zéro, et que ses deux extrémités soient aussi maintenues constamment, par une cause quelconque, à la température zéro. Il s'agit, l'état de température initial de la barre étant donné, de connaître les variations que subiront avec le temps les températures des divers points, jusque ce que l'excès de chaleur qui lui avait été communiqué l'étant dissipé dans le milieu environnant, ces températures lient été toutes réduites à la température même du milieu* On nommera

0 Taire de la section transversale de la barre}

Y le périmètre de cette section ;

x la distance d'une section quelconque à Tune des extrémités;

v la température qui a lieu dans cette section à la fin du temps t;

a la longueur de la barre;

]£, h les conduci])ilités intérieure et extérieure ;

C la chaleur spécifique;

D le poids de l'unité de volume.

La chaleur passe des parties les plus échauffées de la barre dans celles qui le sont le moins, en même temps qu'elle se dissipe, soit dans l'air environnant en traversant la surface de la barre, soit en s'écoulant par les deux extrémités maintenues à la température zéro. Si Ton considère l'élément du prisme dont la longueur est dx, et dont le volume est Qdi> on reconnaît que 1* température de cet éléjnept p'étaraoft <fe

— dt dans le temps dt, l'excès de la chaleur qu'il reçoit sur dt

celle qu'il perd dans le même temps, doit être CD. û d* -réi.

Or, la obeleur qu'il reçoit dans le temps 4é psr sa première

dv extrémité est — K.Q — dt; celle qu'il transmet par Fextré-

/dv d*v \ mité opposée est — K.û ( — + — dx J dt; et celle qu'il

perd au travers de sa surface est h.ydx.vdl : d'où il nuit que

la chaleur qui reste dans l'élément est f K.û — — hf.vjdxdt.

Égalant cette quantité de chaleur à celle qui est nécessaire pour produire l'élévation de température qui a lieu dans cet élément, il vient

dt>__2^ d*v Ay

pour l'équation aux différences partielles qui exprime la loi du mouvement de la chaleur dans la barre.

Cette équation devient plus simple en posant t> s» u . 0 S , u désignant une nouvelle variable : elle se réduit alors, en

écrivant pour abréger k à la place de — , à

du df

. <Pu

Conformément à ce qu'on a vu dans le n° 487, on y satisfera par la valeur particulière u = e**+*', pourvu que les constantes m et n vérifient l'équation n = km*. Ainsi l'intégrale générale est

il = Ae"*****8' + A^i*-*-*"*!*' + A^mf*+*mi,< + etc. ,

dans laquelle les constantes m, mt, *it, etc., et À, À„ Àf, etc., sont entièrement indéterminées.

490. Cette intégrale, aussi bien que l'équation différentielle, appartient à toutes les questions où il s'agit du mouvement de la chaleur dans une barre prismatique dont les dimensions transversales sont très-petites, et qui est placée dans un milieu de température constante. Elle doit satisfaire, dans la question dont il s'agit ici, aux deux conditions suivantes : i° que la valeur de v, et par conséquent celle de u, soient toujours nulles aux points extrêmes de la barre, c'est-à-dire pour les valeurs x=0, x=a; 2° qu'en supposant 1=0 l'expression de v s'accorde avec l'état initial des températures, que l'on doit supposer donné sous cette forme v=o(x), <p désignant une fonction entièrement arbitraire.

L'expression précédente ne satisfera pas à la condition de donner a=0 pour les valeurs a?=0 et x=a, en prenant pour les nombres m,mi,ml, etc., des valeurs réelles. Mae en leur attribuant des valeurs imaginaires m^ — i, m^— !• mtv^ — 1, etc., et remplaçant chaque exponentielle imaginaire par sa valeur en sinus et cosinus d'arcs réels, on aura, au lieu de cette expression , la formule

u = (Asin.nu? + tocos.mx)e-km*t + (A^in-m,* + B,cos.m,j:)rtoi ' + (AjSiiLm,* + B,cos.mîx)e-kmi,< + etc. ,

dans laquelle on doit, pour lui conserver toute la généralité qu'elle comporte, donner des coefficients aux termes sin. mx.e~kmU, cos.iwtf.e"***11, et ainsi des autres, parce <p ces termes vérifient séparément, ainsi qu'il est facile de s'en

du d*u . • \A assurer, l'équation différentielle ^r=* -t-,- Mais (bn*"1

cas particulier dont il s'agit, nous devons nécessairement supposer nuls tous les coefficients B, B, , Bs, etc., prô*F

les termes qu'ils affectent ne peuvent se réduire à zéro lorsque l'on suppose x = 0; et nous devons prendre simplement la partie de l'intégrale qui s'accorde avec cette condition; savoir :

«=Asin,mx.^-*m,<+A1sin.m1o;.r-àmiî<+A,sin.mîa?.^-*1,li,'-hetc.

Pour satisfaire ensuite à cette autre condition que u = 0 lorsque x = a, il suffira de choisir, pour les nombres m,mx,mt, etc., des multiples exacts de la demi-circonférence divisée par a. Nous écrirons donc

taç» *.*M *.3titl

«=A,sin.H., " +Ajn.*S£.e * +A8sin.Ç.e " + etc.

et en concevant cette série prolongée à l'infini, le résultat présentera toute la généralité possible, avec les conditions que l'expression de u satisfasse à l'équation différentielle et donne t* = 0 lorsque x = 0 et x=a.

491. Il reste à satisfaire à la condition qu'en faisant 1=0, ce qui donne v = u, et

u = A,sin. — +Atsin. — +A8sin. 3~ +A4sin. — + etc.,

la série du second membre, prolongée à l'infini, reproduise la valeur de la fonction donnée et arbitraire <f(x), par laquelle on suppose l'état initial des températures représenté; c'est-à-dire que les coefficients A,, A,, A,, etc., qui restent encore arbitraires, doivent être déterminés par la condition que l'équation

TZX QkïE UlUC tïTZX

9(x)=A18in. — h A,sin. — + A8sin. h A^sin. - — +etc..M (A)

subsiste pour une valoir quelconque de la variai* * comprise rirtre *a»0 et œmê.

Concevons que Ton ait partagé la longueur « de h barre en un nombre n-\-i de parties égales, n étant ufl nombre entier très-grand, et qui tend à devenir infini, et désignons

par xi9xt9 x8, , xn les abscisses des points de division.

On posera les équations

fMssAttJn. Ç ♦M* ^ +Àlain. ?S +...„+A«*in.~i. tfa^À^n. ÎJ H-A^n. ^» +A,sin. ?Ja + +A.sw.^

•{«^ata.» +AtsliL ?» + A.sin. ^» + .....+A.siiL^,

qui doivent toutes subsister, et d'où l'oft peut déduire les

valeurs des Coefficients Àft9A„A„ A». Pour opérer l'éli-

mination qui donnera la valeur du coefficient A* appartenant au terme A<sin. — , on multipliera la première des

d iizx, *

équations précédentes par > sin. — -, la seconde ptf

— r-rsin* — *, la troisième par — — sin. — =-, ew.,«fr n+i a ' r n+t a

fin la dernière par — .— sin. -^ . On ajoutera mite *^ n + i a ê

toutes ces équations. Or, il est visible que le nombre a étant supposé infiniment grand, l'intervalle — — • devient Télément infiniment petit dœ ; et

1° La sommé des premiers membres ne diffère point de l'intégrale définie / ete.sih. — *<?(#) .

2° Si Ton désigne par Ajsin. - — un terme quelconque

du second membre de l'équation (A), la somme des termes correspondants dans les équations précédentes ne diffère

înt de A. / dx.sm. — sin.- — .

point

3* Enfin la somme des termes contenant le coefficient

Ai est Ai l dx.sin*. — .

Remarquons maintenant que l'intégrale définie

est nulle tant que les nombres i et j sont des flôtftbfe* entiers différents Tan de l'autre , puisque cette Intégrale te* vient à Ai

Mais si les nombres * et j sont égaux, ou s'il s'agit de l'intégrale

/ dr.sin.* —

on trouve pour sa valeur -. Ainsi l'opération précédente a fait disparaître tous les termes, hors Un seul, et il reste

pour déterminer le coefficient cherché, l'équation

dx.sin. — .?(x)=À,-; d'où Von déduit

ax.sm. — .?(x)t

pour l'expression d'un coefficient quelconque dans le second membre de l'équation (A). Chacun de ces coefficients est donné par une intégrale définie sous le signe de laquelle entre la fonction arbitraire o(x). Cette intégrale représente Taire d'une courbe que l'on forme en multipliant, dans l'intervalle compris entre x=0 et x=a, les ordonnées correspondantes des deux courbes qui seraient représentées

VKX

par les équations y =<?(*) et y=sin. — : elle peut toujours être calculée, pourvu que l'ordonnée n'ait pas de valeurs infinies dans cet intervalle , circonstance qui n'a jamais lieu dans les questions physiques auxquelles s'applique cette analyse.

L'équation (A) devient donc (en mettant sous le signe des intégrales définies une autre variable a à la place de x) ,

+sin.^radasiIL3!«.?(a)+etc}

que l'on peut écrire, pour abréger

t=oe

*w=l S sîn- irf", rfasin-x#?w'

t désignant un nombre entier quelconque. On prouve d'ailleurs qu'une telle série est nécessairement convergente , quelle que soit la fonction arbitraire y(x) , c'est-à-dire que la somme des termes, à mesure que Ton en prend un plus grand nombre, approche toujours d'une limite déterminée , qui est la valeurdu premier membre, pourvu que l'on ne donne à la variable x que des valeurs comprises entre 0 et a (*). Au delà de cet intervalle, le second membre de l'équation affecte des valeurs périodiques, qui ne s'accordent plus en général avec celles que pourrait donner la fonction arbitraire y(x).

Il ne sera pas inutile de remarquer qu'il ne peut être permis d'omettre dans le second membre de l'équation (A) , un seul des termes appartenant à la série des sinus des arcs égaux à la demi-circonférence multipliée par un nombre entier quelconque; car cette omission ôterait à l'intégrale cherchée la généralité nécessaire, l'intégrale devant toujours comprendre, sans aucune exception, toutes les expressions analytiques qui satisfont à l'équation différentielle et aux conditions particulières de la question. C'est ce qui devient manifeste en remarquant que si l'on omettait, par

exemple, le tqpne Assin. ^j-, on trouverait alors en mul-

3kx tipliant les deux membres de l'équation (A) par dx.sin. — ,

et intégrant ensuite depuis x = 0 jusqu'à x=a, le résul-

tat / dx.sin. . <p(ar)=0, résultat qui ne peut évidem-

ment subsister en général, mais seulement pour certaines formes particulières de la jonction ?(#).

0 Voyei sur ce point an Mémoire de M. Lejeone Dirichlet, inséré an tome IV du Journal de M. Crelle.

2* AITOÉE. 1 1

492. D'après ce qui précède, la température variable v des différents points de la barre se trouvera donc exprimée par la formule

2 un * »*ff CD «« /*a . . ts* , .

qui résout entièrement la question proposée. Elle indique la manière dont la chaleur se propage et se répartit dans la barre. Les termes successifs de la série sont affectés des

facteurs* CD * ,e c» * ,e en -», etc. , qui se réduisent tous à l'unité quand 1=0, mais qui, lorsque t augmente, prennent des valeurs très-inégales, décroissant d'aatant plus rapidement à partir du premier terme que le temps/ est plus grand. Il en résuite qu'à mesure que le temps s'écoule, les derniers termes de la série disparaissent successivement, et que bientôt elle peut être réduite à ses deux premiers termes, ou même à son premier terme seul; en sorte que l'on a simplement

Ainsi quelque arbitraire et irrégulier que puisse être l'étal initial de la température, elle tend rapidement à se rapprocher 46 la distribution indiquée par cette expression, ce* à-dire d'un état tel que les températures des divers ponts sont proportionnels aux sinus des arcs compris dans la demicirconférence. Ces rapports une fois établis ne s'altèrent pas. Les températures de tous les points s'abaissent à la fois en conservant le$ mêmes proportions, et ce n'est * la rigueur

qu'après un temps infini que tout l'excès de la chaleur qui avait été donné à la barre éUnt dissipé , chacun des pointe est amené à la température zéro du milieu dans laquelle eli* est placéç.

493. On reconnaît d'ailleurs que la solution précédente, par cela seul qu'elle représente l'état initial et satisfait à l'équation différentielle, est la seule qui puisse être obtenue, et que toute autre solution ne pourrait en différer. En effet, lorsque le premier état v9 = y(x) des températures est donné, l'équation différentielle faisant connaître la valeur du coefficient—, détermine la température v0-\- -~r1M = vi qui a

lieu après le temps Af pour un point quelconque, avec une exactitude d'autant plus grande que M est plus petit. Elle

déterminera également les températures vt~Vi + -~ M,

t3=i?1-|--7i M> etc., qui auront lieu après les temps 2Af,

3aj, etc. Or, l'expression précédente donnant v = v0 lorsque f =0, et satisfaisant à l'équation différentielle, donnera évidemment en y supposant t=At,=2Ai,=2 3Af, etc., les mêmes valeurs t?, , vt% t>8, etc. (l'intervalle M étant supposé, comme on doit le faire, infiniment petit). Ainsi la solution est unique, et nécessairement exprimée par la formule précédente.

494. Nous considérerons maintenant la question du mouvement de vibration d'une corde tendue entre deux points fixes. On suppose que cette corde ait été dérangée d'une manière quelconque de sa figure naturelle rectiligne , et que l'on ait imprimé des vitesses quelconques à tous ses points ; il s'agit de déterminer les mouvements qu'ils affecteront. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que ces mouve-

mente s'opèrent dans un plan, et de pins, que les écarts de chaque point à partir de la ligne droite tracée d'une extrémité fixe à l'autre, sont très-petits, en sorte que l'on peut négliger les puissances supérieures des nombres qui les représentent. On désignera par

m l'abscisse d'un point quelconque de la courte affectée par la corde, à la fin du temps t;

y l'ordonnée du même point ;

a la longueur de la corde entre ces deux extrémités fixes:

p le poids de la corde pour l'unité de longueur;

P un poids égal à la force avec laquelle la corde a été tendue ;

g la vitesse imprimée aux corps pesants par la gravité dans l'unité de temps.

Le mouvement de chaque élément de la longueur de 1* corde, dont le poids peut être exprimé par pdx, et la masse

par- dx, peut être déterminé en considérant cet élément

comme un point matériel libre, pourvu que Ton ait égard aux forces qui le sollicitent par l'effet de sa liaison avec les autres parties de la corde. Or, si Ton veut déterminer le mouvement de l'élément dans le sens des y, on considérera qo'à la fin du temps f , cet élément est sollicité à sa promit extrémité, en vertu de cette liaison, parallèlement aux y,

par la composante P -^ de la tension P de la corde, qœ

tencl à le rapprocher de l'axe des or; et à sa seconde extrême par cette même composante augmentée de sa différentielle, savoir,

qui tend à l'éloigner du même axe. Donc l'élément est sollicité dans le sens de l'ordonnée y par la différence de ces

deux forces, qui est P -t4 dx, et par conséquent la loi de

son mouvement est exprimée par l'équation

g dt% da? 9 dt* p d&f

qui doit subsister pour tous les points de la corde.

495. En cherchant, conformément au n° 487, à satisfaire à cette équation par la valeur particulière y=emx+nt, on reconnaît que les quantités m et n sont assujetties à la condition

n*=zk*m*, d*où n = =fcftm,

en écrivant pour abréger k au lieu de \f— • On peut donc

prendre y=f(*+kt> et y=e»<*-k*>9 la valeur de m demeurant arbitraire. D'où Ton conclut que l'intégrale générale de Téquation précédente est exprimée par

y = Atf»(«+*0 + A1e*li<*+*#) + A,**!***^ + etc. + Be^"-**) + B^if— *> + B^»-*1) + etc.

les constantes m, fni9m„ etc., n, nx,n19 etc., étant entièrement arbitraires, aussi bien que A, A19 A„ etc., B, B„ Bf , etc. Afin que ces constantes soient déterminées maintenant d'une manière conforme aux conditions de la question proposée, il faut en premier lieu que la valeur de y soit nulle aux deux extrémités fixes de la corde, c'est-à-dire lorsque x = 0 et 2=a, ce qui exige que l'on attribue des valeurs

imaginaires an constantes m, m1 , m, , etc. , et n, n1 , *„ etc., ou que Ton remplace 6f"t*+ki> pgr

cos.m(a? + fa) + v7— * sin.mfx + **) = cos.nur.cos.mfcf

— 8iD.fci2.sin.mJki + v^=T(sin.wLr cos.m& -f co&mx sin.mfcf),

et de mêm« e*^*0 par

cos.nx . tC&nkt + ain.ft* . iin.itftf + v7— i(sîn.iwrcos.nfa;

— c0s.y7xsin.nicz),

«t* ainsi (les antres termes. De plus, il faudra supprimer lfc termes contenant cos.»fcr ou cos.nar , puisqu'ils ne deviennent point nuls quand a? = 0; et quant aux termes contenant sm.wx ou sin.nx, on devra prendre po«r les constantes m ou n un nombre entier de demi-circonférences divisé par 6, afin que ces termes s'évanouissent lorsque x == a. Nous aurons donc pour Finfégrale cherchée, en donnant des coefficients différente aux ternies qui satisfont séparément à l'équalioo différentielle,

et il ne reste pfas qn'fc déterminer les coefficients A., A,. A9, etc., et Bt. B,< B„ etc., d'après la considération de l'état initial.

£96. Supposons donc qu'à l'instant d'oà l'on comme»* à compter le temps : 4° la ligure de la corde toit eiprhn* par l'équation y = ?(*); 2° 1* vitesse de l'un qoeloomp»*

ses points soit exprimée par l'équation -^ = <|/(#), ? et ty désignant dfe fonctions entièrement arbitraires. Pour que l'expression précédente s'accorde avec ces conditions, on devra donc avoir

l(x) = Atsin. — + AtsiD. — + A^in. — + etc.,

4£r)=B|— sin.— +B. — sin. — +B. — sln. — + etcf ^ ' * a a ■ a a ^ a a

équations d'après lesquelles les coefficients dont il s'agit se détermineront conformément à ce qu'on a vu dans le n° 491. L'expression complète de l'ordonnée y sera en conséquence

2 a -* te **** Ta ^ -*- te ^ %

- g sin. — .cos.— J 9**.**.— .««)

Si . î«? .. iizkt Ca j -i te t # \ I

Cette expression montre que, quel que soit l'état initial, le mouvement de la corde peut être regardé comme la réunion ou la superposition d'une infinité de mouvements simples oscillatoires, exprimés chacun par un terme des séries* Les durées des osoillations dans ces divers mouvements

4 11 simplet décroissent comme les nombres 1, -, -, -, etc.

L'état initial se reproduit alternativement d'un côté et de

l'autre de la direction naturelle de la corde. La durée d'une

oscillation entière est aW-^j, en sorte qu'elle est propor-

tionnelle à la longueur de la corde entre ses extrémités fixes et à la racine quarrée du rapport du poids de l'unité de longueur de la corde au poids qui en mesure la tension. Ces résultats sont entièrement conformes à l'expérience.

Des notions analogues à celles qui ont été présentées dans le n° 493 , prouveront d'ailleurs que la solution est unique, et nécessairement donnée par l'expression précédente, qui s'accorde avec l'état initial et vérifie l'équation différentielle.