XXXIX. METHODE DBS VARIATIONS

497. La méthode des variations a pris naissance dans les questions de maximum et de minimum considérées sous le point de vue le plus étendu; mais son utilité principale consiste dans les applications à la mécanique. Nous ne pouvons présenter ici que les premiers éléments de cette méthode et ses usages les plus simples.

H faut distinguer en premier lieu en quoi les questions de maximum ou de minimum qui dépendent du calcul des variations diffèrent des questions ordinaires du même genre. Dans les questions ordinaires , une quantité U est donnée en fonction d'une ou de plusieurs variables indépendantes x, y, xy etc., de manière que chaque système de valeurs attribuées k ces variables amène une valeur déterminée pour U. On demande de fixer les valeurs de x, y, *, etc., qui rendront U la plus grande ou la plus petite qu'il soit possible. Cette question, comme on Ta vu dans l'article XIV, se résout en posant les équations

M A <M A du .

auxquelles doivent satisfaire les valeurs demandées des variables x, y, z, etc. Quant à la distinction des cas où les valeurs qui satisfont k ces équations répondent effectivement à un maximum ou à un minimum , elle est fondée» comme on l'a vu également dans l'article cité, sur la considération des coefficients différentiels du second ordre delà fonction U.

Dans les questions qui dépendent du calcul des variations, on conçoit entre diverses quantités variables une relation exis* tante, mais indéterminée, et l'on demande de déterminer cette relation de manière que la valeur d'une certaine fonction , valeur qui dépend de la relation dont il s'agit, soit la plus grande possible.

Par exemple une courbe étant tracée entre deux points fixes, la grandeur de Taire comprise entre la courbe, Taxe des abscisses, et les ordonnées des points extrêmes, est déterminée, et sa valeur résulte de la relation y = f(x) qui est l'équation de la courbe. Représentons-nous entre les deux points fixes plusieurs courbes qui auraient toutes des longueurs égales : l'équation y=f{x) sera différente pour chacune , et l'aire , représentée par I M dx . y , aura également

J *o des valeurs différentes. La longueur de la courbe est exprimée d'ailleurs par

On peut demander, cette longueur demeurant la même, de déterminer la figure de la courbe, c'est-à-dire la forme de

la fonction f(x), de manière que l'aire / "dx.y soit la plus

grande ou la moindre possible.

Concevons encore une courbe tracée entre dent points fixes, et considérons nn corps qui descend le long de cette courbe en cédant librement h l'action de la gravité. Le temps que ce corps emploiera à parvenir d'un point à l'antre dépend de la figure de la courbe dont il s'agit, et sa valeur est exprimée, en supposant l'axe des x vertical, paf

J ** V 2g(*—sj

On peut demander de déterminer la relation y*s*fe) qui donne la figure de la courbe de manière que oe temps soit le moindre possible. Cette question sera plus étendue si Von admet que la courbe de la plus vite descente, ou brexhystochrône, doit être tracée, non pas entre deux pointe fixes, mais entre deux lignes courbes données, ou entre deux surfaces courbes données. Les limites x, et x„ dé l'intégrale deviennent alors variables, aussi bien que l'abscisse x0 du premier point de la courbe qui se trouve sous le signe d'intégration définie.

Une recherche de même genre est celle de la ligne la plus courte qui puisse être tracée sur une surface donnée, entre deux points fixes, ou entre deux lignes marquées sur cette surface.

498. Ces exemples suffisent pour indiquer quelle est la nature des questions dont il s'agit , et à quelles recherches aftalytTejfcres on se trouve conduit pour en trouver la solution. L'expression de la quantité qu'il faut rendre un maximum ou un minimum se forme, d'après les règles connues, au moyen des éléments différentiels de la courbe cherchée. Cette expression est toujours une intégrale définie pem

entré des limites données, fixes ou variables avec certaines conditions. On doit rendre la valeur de cette intégrale la plus grande ou la moindre possible, en déterminant en conséquence la relation analytique dont dépendent les coefficients différentiels qui se trouvent sous le signe d'intégration. Cette question se résout d'ailleurs au moyen des principes qui s'appliquent aux questions ordinaires de maximum et de minimum. On suppose que toutes les quantités variables dont dépend la valeur de la fonction proposée augmentent de quantités arbitraires qui peuvent être supposées aussi petites qu'on le veut; et dans le développement de la valeur qui en résulte pour cette fonction, on égale à zéro le terme qui contient les premières puissances de ces accroissements; ou, si l'on vêtit, on égale à zéro la différentielle totale de la fonction proposée prise par rapport à tontes les quantités variable» qu'elle contient. L'équation qui en résulte doit subsister pour toutes les valeurs qui peuvent être attribuées aux accroissements infiniment petits de ces quantités variables. Elle exprime la condition nécessaire du maximum ou minimum. Quant à la distinction des cas où il y a maximum ou minimum, et de cent où, bien que cette condition soit satisfaite, le maximum on minimurri n'existe pas, elle dépend de la considération du terme qui contient les secondes puissances des accroissements. Le maximum et le minimum ont lieu respectivement lorsque ce terme est toujours négatif ou toujours positif, quelles que soient les valeurs des accroissements.

499. Nous considérerons en premier lieu le cas où l'on n'a qu'une variable Indépendante x , et une fonction y dont la valeur dépend de celle de x; y représentera donc l'ordonnée d'une courbé dont x est l'abscisse. II s'agit de déterminer la figure éé \û courbe de manière que l'intégrale

définie

*Xt*dx.V

soit un maximum ou un minimum. Les limites x9 et xu de l'intégrale peuvent avoir une valeur constante donnée. Ces limites peuvent aussi, dans quelques cas, varier d'après certaines conditions. V est une fonction quelconque d'un

nombre déterminé des quantités x, y, -~y ^~, -1, etc.;

x étant la variable indépendante, l'élément dx est supposé constant.

Cela posé, nous admettrons d'abord que les limites x#, xM ont une valeur constante. Dans ce cas, les points extrêmes de la portion de courbe que Ton considère doivent se trouver toujours sur les perpendiculaires à Taxe des abscisses, menées aux distances x0, x„ de l'origine; et Ton fera varier d'une manière aussi générale qu'il soit possible la fonction pro-

posée / dx.V, si Ton suppose que la courbe cherchée se

change dans une courbe quelconque infiniment voisine qui

soit assujettie à cette condition. Or il n'est pas nécessaire! pour

opérer un tel changement, de faire varier x dans la fonction

V; il suffit d'attribuer, dans cette fonction, à la quantité y et

du <Py d*y par suite à ses dérivées —-, -r^, j^, etc., des variations

que nous désignerons par 8y, 8 -^-, 8 -^~, $-—?, etc.,*

qui pourront être différentes d'une abscisse à une autre, en sorte que 8jj est une quantité infiniment petite, mais d'ailleurs fonction quelconque de x. La caractéristique 8 représente, aussi bien que la caractéristique d, un accroissement tnfi-

niment petit attribué à la quantité variable affectée de cette caractéristique; mais il y a ici cette différence que le signe d indique un accroissement résultant du passage d'un point de la courbe cherchée au point suivant de la même courbe, tandis que le signe 8 indique un accroissement résultant de ce qu'on passe d'un point de la courbe cherchée au point correspondant de la courbe quelconque infiniment voisine. De* plus nous appellerons variations les accroissements désignés par S, le nom de différentielles étant conservé aux accroissements indiqués par d. La variation de la fonction V résultant

du d*y cPy des variations attribuées aux quantités y, -~, -r-£, -t~, etc.,

qui y sont contenues, sera exprimée par SV; et Ton aura SV=N8» + M^ + Q8g + R8g + etC;

si l'on représente par N, P, Q, R, etc., les coefficients différentiels de la fonction V pris respectivement par rapport aux

. dy d*y dHi quantités variables y,^, ^, ^, etc.

La condition du maximum ou minimum exige que la variation

f*» dx.&f J *o

de l'intégrale définie proposée soit nulle. Cette condition est donc exprimée par l'équation