On remarquera maintenant que dans les termes -r

od*y ïd*y

■j-y, -r-f , etc., Tordre des signes d et 6 peut être interverti à volonté. En effet, l'ordonnée du point de U courbe cherchée étant y, l'ordonnée du point suivant de la roimi courbe est y + dy, et celle du point correspondant de U courbe voisine est y -f- 8y, Donc l'ordonnée du point suivant %de celte dernière courbe est également y + tfy4-%+<ty)/ ou y + ty + d(y -f- ty). Donc y y =? doy. La même remarque

dfîi peut être appliquée à la fonction -j~ et aux fondions soi*

vantes. On a également -r-| = — £ =^ — J, et ainsi <k

suite. Nous pouvons donc écrire f au lieu de l'équation précédente,

Dr, ai Ton considère à part chacun des termes du second membre, on voit qu'au moyen de l'intégration par parti» ils peuvent être transformés de la manière suivante. On aura

fdx.P^ = canst/+P*y—fdx.j£*y;

puis en donnant successivement aux quantités qui entrent dans cette équation les valeurs qui répondent aux limite* *t et a^ de l'intégrale,

0 = const. +P0ty0f et en retranchant le premier résultat du second,

/j*.,2 r-wk-/j*.Sï|.

On trouvera de même pour le terme suivant, et par conséquent

Le terme qui viendra après donnera

et par conséquent

^d*t/ rfR.rfw , d*Rft . . d*Rfc

Et ainsi de suite pour les autres termes.

D'après ces transformations , l'équation précédente expri-

mant la condition du maximum ou du minimum, se trouve changée en

+ (pu-^-e,c)^+(Qw-^+etc.)8^

Cette équation doit subsister, pour que la condition do maximum ou du minimum de l'intégrale définie proposée soit satisfaite, quelles que soient les variations marquées par le signe S. Les deux premières lignes contiennent les

variations des quantités y0, ~, ~-y etc., ou yrt, ~t ~~, etc., qui représentent les valeurs que prennent les

fonctions y, -jf-, -?~, etc., lorsqu'on attribue à l'abscisse*

les valeurs œQ ou x^ qui répondent aux limites de l'intégrale définie proposée. La dernière ligne contient sous le signe d'intégration la variation 8y de l'une quelconque des coordonnées de la courbe, variation qui est entièrement art»traire. Cette dernière ligne doit être égalée séparément à zéro; et il en est de même des deux autres.