Nous aurons donc en premier lieu V équation i*~ définie

0=N-di + ^-3F + etc-

qui appartient à tous les points de la courbe , et qui doit d'abord être vérifiée par l'expression de y en x qui résoudra la question. Cette équation sera une équation différentielle entre les variables x et y, dont il s'agira de trouver l'intégrale générale.

Nous aurons ensuite, si les variations relatives à la première limite de l'intégrale sont indépendantes des variations relatives à la seconde limite, les équations déterminées

o = (p.-f + etc>, + (Qo-g + etc.)8g

+ (R0-etc.)3^--etc.,

0 = (Pco-^ + etc.)8y(0+(Q(l>-^ + etc.) a

dy<»

+(B«-et&)*2? + ete.,

qui appartiennent aux deux limites de l'intégrale, et qui doivent également être satisfaites par l'expression de y en x qui résout la question , lorsqu'on donne à x les valeurs extrêmes ar0, a?w.

Si les points extrêmes étaient donnés de position, ou si les valeurs des ordonnées y0 et yw étaient constantes aussi bien que x0 et a?Q, on aurait alors $y0 = 0, 8yQ=0, et les premiers termes des équations dont il s'agit disparaîtraient. Il suffirait donc, pour y satisfaire, d'égaler séparément à zéro les termes suivants. De même si les valeurs de quel-

dy d*t/ ques-uns des coefficients différentiels —-, -r~, etc., appar-

(IX QX

tenant à l'un ou à l'autre des points extrêmes, étaient don-

2* AXKfE. 13

fa nées par la nature de la question, on aurait 8-^ = 0,

S-^^=0, etc., pour l'up de ces points; oq $-jjk=0,

cPv * *^T ^ °> et^> PP"* l>autrei et les termes affectés de ces

variations disparaîtraient d'eux-mêmes. Quant au termes qui ne disparaissent point ainsi d'eux-mêmes par suite des valeurs déterminées que doivent conserver l'ordonnée y ou quelques-uns de ses coefficients différentiels dans les points extrêmes de la courbe, on doit les égaler séparément à zéro. Les équations qu'on obtient de cette manière servent en général à déterminer les constantes arbitraires introduites par l'intégration de l'équation indéfinie qui précède.

802. Avant d'aller plus loin, on remarquera qu'en égalant à zéro le terme qui reste affecté du signe d'intégration aans l'expression de /ite.SV, et en regardant l'équation ainsi formée, non plus comme devant déterminer y, mais comme devant être identique, on exprime la condition nécessaire pour que l'intégration indiquée puisse s'effectuer, ou pour que la fonction dx . SV soit une différentielle exacte; ce qui résulterait 4e ce que la fonction \dx serait ellemême une différentielle exacte. Car la supposition V<fr=<ft entraîne SVdx = 8dU = (fêV. D'ailleurs, ^çttant jf,jf,

y*, etc., à la place de g, g, g, ete., l'équation de

condition

. , dP.tPQ dHi,.n

dont il s'agit, peut s'écrire

n dV d (d\\, d* /dV\ * fL\MMa.

Si elle est satisfaite identiquement, la fonction Wdx, dans laquelle V contient x, y, y\ y", etc., sera une différentielle exacte d'une fonction de Tordre immédiatement inférieur. Nous pouvons vérifier cette proposition pour les fonctions du premier ordre. L'équation de condition se réduit alors à

n rfV rf/rfv\ dy dxWJ9

Comme elle doit être 'identique, les deux termes doivent

dV que y*, il s'ensuit que jp ne doit pas contenir y*, puisqu'au-

trement — f — j contiendrait y"; d'où Ton conclut en

premier lieu que la fonction différentielle du premier ordre dont il s'agît , qui doit être une différentielle exacte , ne peut être que de la forme

(A + Btf)dx9 c'est-à-dire Adfc + Btfy,

A et B étaal des fonctions de x et da y seulement Cette fonction donnera

dV dA ,dBdy dV»

4y~ d»+ dy dx' dy'""l5;

et en substituant dans l'équation de condition, il viendra

du dy dx \dx dy dx) dy dx' (ttnforna&neni k ce qu'on ci vu dans le n° 365.

803. Nous avons supposé dans le n°499, afin de considérer d'abord le cas plus simple, que dans l'intégrale définie proposée

*w dx.N,

qu'il s'agit de rendre un maximum ou un minimum, les limites x0 , xw étaient constantes , en sorte que dans tous les changements que Ton pouvait faire subir à la courbe qui représente la relation de y à x, les points extrêmes devaient demeurer constamment sur les mêmes parallèles à Taxe des y. Nous supposerons maintenant ces limites variables. Dans ce cas, nous ferons varier la fonction

"cte.V de la manière la plus générale qu'il soit pos-

sible. en admettant que toutes les abscisses x augmentent de la quantité arbitraire &r, en même temps que l'ordonnée y et ses dérivées augmenteront comme ci-dessus, des

quantités 8y, 8 —, 8 —^ , etc. La courbe qui exprime la relation de y à x se changera alors en une courbe infiniment voisine. La variation qui en résultera dans l'intégral*

w<te.V sera exprimée par

— VJbb+Vtttew+ (*» dx.hY.

J xù

Mais il faut remarquer ici que, par l'effet de la variation supposée de l'abscisse x , un. point quelconque de U première courbe étant transporté dans la courbe variée, son ordonnée devient y + ty. Donc, l'ordonnée qui w* .pond à l'abscisse x dans la courbe variée, a pour exprès

sion y + 8y — (g| + 8 g|j 8a?, ou y + 8y— ^ te, en négligeant les quantités du second ordre. On conclut de là qu'en formant 8V dans l'expression précédente, nous devons regarder y comme augmentant, non pas de 8y, mais

dy de 8y — -p 8a?. La même remarque s'appliquera aux fonc-

dti tions dérivées de y. On doit regarder -/- comme ayant varié

seulement de 8 -^ V-^ 8a?, ou 8 -^- — —^ 8a?. On

ax ax ax dx*

d*y considérera également -^ comme ayant varié seulement

d*y d*y de o—i — —i Zx, et ainsi des autres. Par conséquent, si

nous représentons comme dans le n° 499, par N, P, Q, etc.,

les coefficients différentiels partiels de la fonction V pris res-

dti éPy pectivement par rapport à y, ^-, -j-^, etc., nous devrons

écrire ici

On remarquera de plus qu'en posant

et différentiant cette équation, il vient

<%!?!?&,.— ^ rf8a? dfcu m dx dx% dx dx "~" dx '

puis en ajoutant l'équation identique

dx dm dx da 9

on trouve (puisque l'ordre des signes d et 8 peut être changé

à volonté) ,

hdy d*y ^tâu dx dx* ~3x%

Différentiant de même cette dernière équation, ce qui donne

çte f^V r <Py d&x d*^u

dx <te» dx* dx" dx*S

puis ajoutant l'équation identique

d*£ td^l ^d*y % dx ^ dx dHf m

dx* dx dx dx* dx9 on trouve également

dx* dx* dx*

On obtiendra de la même manière

dx* dx* dx*%

et ainsi de suite* H en résulte que 1'expfldssion précédente de $V peut s'écrit

5V = Nw + p.+Q + R__ + etc

L'équation exprimant la condition du maximum ou du minimum sera donc

o = r— v0àop0-f v^

t— V0«r0+ VJ*

et en opérant sur le second terme les transformations indiquées n° 500, cette équation se changera en

-V.^.-§ + S-etc.)(s*-t-.)

En comparant ce résultat à celui du ti° 500 , on voit en premier lieu que Ton est conduit ici à la même équation indéfinie

0==!,"-s+a?""a?+etc-

qui doit subsister pour tous les points de la courbe. Quant aux équation^ déterminées, elles diffèrent de celles qui sont écrites n° 50i, par Pintrdttofctlôil des' tèrtaës — V0te0

— <84 — et Vw&rw ; et parce que les quantités 5y0 et tyw sont remplacées par ty0 — -^ Zx0 et $yw — ^ Szw ; les quantités

ainsi de suite. Si les variations &r0,Sy0, S-p» etc., et

te*» fy*»9 *"j* etc-> sont arbitraires, le coefficient de

chacune de ces variations doit être égalé séparément k zéro, ce qui donnera autant d'équations distinctes auxquelles l'expression cherchée de y en & doit satisfaire quand on donne à x les valeurs extrêmes x0 et xtù. Si quelques-unes des

dy dHr quantités ocyy,-y-, -j^> etc., ont des valeurs déterminées CLX ax

pour l'un ou l'autre des points extrêmes de la courbe, les termes affectés des variations de ces quantités disparaissent d'eux-mêmes, et on doit égaler seulement à zéro les tomes affectés des autres variations. Il faut remarquer d'ailleurs que si la position des points extrêmes est entièrement arbitraire, chacun de ces points peut être placé où Ton veut sur le plan de la courbe , sans qu'elle cesse pour cela de satisfaire à la condition de maximum où minimum de l'intégrale définie proposée. Donc on est alors le maître de supposer &r0=0 et ty0 = 0, et, par conséquent, de ne point poser les équations exprimant l'égalité à zéro des coefficients dont ces deux variations sont affectées dans l'équation précédente; en sorte que dans le cas dont il s'agit, l'ont deux équations de moins pour la détermination des constantes.

504. Nous devons remarquer que la fonction désignée par V dans l'intégrale définie

<te.V

qu'il s'agit de rendre un maximum ou un minimum, pourrait contenir une ou plusieurs des quantités x^y*,-—-,

d}y dy d*y

^, etc., ou ffw, j^, -£±, -g?, etc. , qui appartiennent

aux points extrêmes de la courbe. On en voit un exemple dans la question de la brachystochrône citée n° 497, où la fonction sous le signe d'intégration contient l'abscisse du premier de ces points. On doit dans ce cas, en formant la variation $V, faire varier les quantités dont il s'agit, si leurs valeurs ne sont point constantes en vertu de l'énoncé de la question.

Si, par exemple, V contenait xQ, et que la variation de V, prise par rapport à cette quantité, fût p&r0, l'expression de 5Vdu n°503 devrait être augmentée du terme. jjl8x0. Donc le terme affecté du signe d'intégration dans l'équation qui exprime la condition du maximum ou minimum devrait être

augmenté de la quantité / "rfg.|ite0j ou &r0 / Xtùdx.p. J x* J z0

Il s'ensuit que l'on devrait ajouter cette quantité au second

membre de celle des équations déterminées qui se rapporte

à la première limite, en sorte que le terme affecté de &r0

dans cette équation deviendrait

On aurait égard de la même manière à la variation des autres fonctions dont il s'agit, si elles entraient dans la composition de la fonction V.

505. Nous avons considéré jusqu'ici le cas où l'on avait une seule variable indépendante x, et une fonction j dépendante de cette variable, comme cela a lieu dans les problèmes qui se rapportent à une courbe ptane. Dans les questionsrelatives à une courbe à double courbure, il bat considérer une variable indépendante x, et deux fonctions y et x qui dépendent de cette variable. L'intégrale définie qu'il s'agit de rendre un maximum étant toujours

*»dxX x0

la fonction V contient alors en général , outre la variable x,

. c .. dy d*y d*y A A dx d** d?z

les fonctions y,^,^,^, etc., et,, -, —^ etc.

Supposons d'abord, comme dans le n° 499, les limites iet o?w de l'intégrale constantes. La variation de cette iotégrale est

** da.ôV.

Admettons qu'en difftirentiant la fonction V par rapport m quantités y, z et à leurs fonctions dérivées , et marquant les différentielles par S, l'on trouve

I dz d*2L drZ I •

l'équatkm exprimant la Condition du taatlmtiifl ou minimafn de l'intégrale définie proposée sera

Appliquant donc à cette équation l'analyse exposée n° 500, on verra, comme dans les n° 501 et 503 : 1° que l'on doit avoir pour tous les points de la courbe l'équation indéfinie

1 <te* +

laquelle, si les variations ot/ et 8* sont entièrement indépendantes Tune de l'autre , donne les deux équations distinctes

dP , d*Q d'il .

dp , d'à d*r , .

0 = n"S + ^-3^ + etc';

2° que l'on a également pour les points extrêmes de la courbe les équations déterminées suivantes , savoir : pour le premier point

+ (R0-ete.)5^« + etc.

Hfc+S— *h+H&+~)*

dz0 dx

»-etc.)ô^ + etc = 0;

et pour le second point

(^-^ + ^)^+(Q«-^ + etc)S + (R-etc)S§» + ete.

+ (rw-etc.)ô^ + etc = 0.

On doit appliquer à ces deux équations les remarques faites n° 503, relativement aux conditions qui peuvent être données pour les extrémités de la courbe.

On doit également appliquer au cas dont il s'agit , les remarques faites n° 504 , relativement à la nécessité de tenir compte dans l'expression de £V des variations des quantités relatives aux limites , lorsque ces quantités sont variables et entrent dans la composition de la fonction V.

Il est aisé d'étendre cette analyse aux cas où il y aurait un plus grand nombre de fonctions dépendantes de Invariable x.

506. Nous pouvons remarquer ici, comme dans le n* 502, que les équations

0=N-s+^-s?+etc'

que l'on peut écrire

°" dy ~~ dx\dxf) + dx*\dtff) dx*\dtf") + 0 ~ dz dx \dz') + dx* \dz") dx* [d*»)

+ etc.

d\i d*v d%y en mettant y', t/", y", etc., à la place de -y- , -r^, ^~ , etc.,

oa: aa; ax

et s*, 2", s", etc., à la place de -^, ^J, ^, etc., expriment, en se vérifiant identiquement, les conditions nécessaires pour que la fonction Wdx soit une différentielle exacte.

Dans le cas où cette fonction serait du premier ordre , ces équations se réduisent à

dV ±fdV\ «-fc jL(M}i Q~-djj dx\dy')' dV dx\dz')'

On en conclurait d'abord , comme dans le numéro cité , que la fonction dont il s'agit doit , pour être une différentielle exacte, être de la forme

(A + By* + CaTjdx, c'est-à-dire Adx +Bdy + Cdz,

A, B, C désignant des fonctions qui ne contiennent que s, y et z. Cette fonction donnerait donc

dV dA dB ..dC , dV dA dB . dC , djj~~ dy + djjV+djjZ' dz"-dz + dzV+dzZ

^-B dV-C

d?-B* d?-Cï

et en substituant dans les équations de condition , on trouverait

A dÀ , dB . , dC . /dB , dB ,, dB \

^^d^ + c^^^^^ Vfa + d^+d* ^

°~dy dx \dz dy)z'

A dÀ dC /dB dG\ f

°-dJ""dï + Vd^"~dy>/y-

Comme ces équations ne doivent pas déterminer y et * , puisque y et * sont des fonctions quelconques de x> ou es conclut les trois équations distinctes

dy dx 9 dz dx * dz dy *

conformément à ee qu'on a vu daaa le a* 366.

.507. Si l'on admet maintenant, comme dans le n* 503, que les limites x0 et arw de l'intégrale définie proposée puissent varier, il sera nécessaire de feire varier l'abscisse j. On reconnaîtra que les variations des coordonnées correspondantes à cette abscisse ne sont plus alors ty et Sx, mais

ty— -£. ix et ** — •£- &c. Par conséquent, l'équation indéfinie qui doit subsister pour tous les points de la courte devient

r (-S+3-S-0MW1 U(-**3-£+~)(--£*)J

= 0; et si les variations Sx, fy, 8* sont entièrement indépta-

dantes les unes des autres, on aura oomme ci-dessus les équations distinctes

dp dH) (PR

A l'égard des équations déterminées, on verrai également que l'on est obligé d'ajouter au second membre de l'équation relative à la première limite , le terme — V08a?0 ; et de

remplacer 8ïo et 8*0 par 8y0 — ^8j?0 et fc0— -g- 8*, dx dx

ainsi de suite. On ajoutera de même à l'équation déterminée relative à la seconde limite, le terme Vw8xw; et l'on

remplacera 8yw et 8zw par 8t/ — -j^ 8yw et Iz — -^ 8xw,

oî^etS^i dx dx

par o

«fyco *'*

w *«. /US *****

^r^etS —

<fcr do;'

et ainsi de suite.

508. Dans, les équations qui se rapportent a\*x surfaces, par exemple dans la, recherche <}e la surface qi*i , se terminant à un contour donné , aurait la plus petite aire possible, on doit considérer deux variables indépendantes x, y, et une fonction % dépendante de ces variables. Il s'agit alors d'exprimer les conditions du naaximum ou minimum d une intégrale double telle que

'" dx

rfy.v,

dans laquelle V peut contenir en général les variables indépendantes x,y, ainsi que la fonction x et ses. dérivées

dx dx d*x d*x dlx

—, 3-, -r-r, -r-i-i tij etc. Nous considérerons seole-

dx' dyJ dx*' dxdy dy*

ment le cas où la projection sur le plan des ar, y du contour auquel se termine la surface est un rectangle dont les côtés sont respectivement parallèles aux axes des x et j. l& limites xù9 arw désignent les abscisses extrêmes; les limites y0 el Vu désignent de même les ordonnées extrêmes. De plus, nous supposerons que ces limites ont des valeurs doitnées et invariables , en sorte que le contour de la portion d-' surface dont il s'agit ait toujours pour projection les côtes du rectangle. Il ne sera pas nécessaire alors de faire varier les abscisses x et y. La variation de l'intégrale définie pro

fi <*ft *•»■

et si l'on suppose

on aura, pour exprimer la condition du maximum ou de minimum de cette intégrale, l'équation

509. Appliquant donc les règles du calcul des variations comme on Ta fait n° 500 , c'est-à-dire faisant passer dus

les termes compris sous le double signe d'intégration le d devant le o , et intégrant par parties , on transformera ces termes de la manière suivante.

T Ç CdxdyM ^£ = fdy.Mïz— Ç fdxdy ^ *z+const. ; et par conséquent

J ** J Vo ** J y* fo>)

J y* (*J J *o J yo d*

Les signes <x0), (xj mis au bas des parenthèses, indiquent que dans les quantités contenues dans ces parenthèses , on donne à a; les valeurs x = x0 , x = x^ , c'est-à-dire que ces quantités ont les valeurs qui conviennent aux limites de la surface, parallèles au plan des y, z.

La même transformation donne

J *• (vJ J ** J v. dv

oz*

Les signes (y0), (yj indiquent que les quantités contenues dans les parenthèses ont les valeurs qui conviennent aux limites de la surface, parallèles au plan des x, x.

2* ANKtl.

d'oà

-yî*("Ê)w+iî*e*)« ■+)î*(-S)w-yî*e-)w .♦y? *)î «s*

et par conséquent

+OMt

ldxd*

'-./XOu-/ï*œ*)« +./>(»sWï*®*)w

Mais on a

fdxQ^ = Qdz-fdxQ*z + amsL

Ainsi l'expression précédente peut se changer en

<nsz

-,^w»j+(oî!k.«.)+^:'te(s)(,j L-/t*@-)w+y>yî*â-J

Le terme suivant contenant R subira la même transformation que le terme contenant P ; il suffit de changer dans ce dernier cas x en y.

Eu substituant ces valeurs dans l'équation qui exprime la condition du maximum ou minimum, elle deviendra

+/!NXM-Ê-i +*)îj+(B-eB-)îE+««-](xj

-»[(>-2-î+*)«»<»-*»$+»iw

+/>i("-S-S+*),,+*-^,ï+«*lu

dKL rfN . d*P , d*Q , rf*R

"xtr dy dx* dxdy

rf*R * \

Cette équatiou doit eubsirter pour toutes les valeurs qui peuvent être Attribuées aux variations des coordonnées des

points intérieurs ou des points appartenant aux limites.