Nous voyons en second lieu que l'on doit poser

en sorte que si les variations 8* de l'ordonnée aux quatre sommets du rectangle, projection de la surface, sont arbitraires, il faudra que Q soit nulle pour les valeurs des coordonnées qui appartiennent à ces points.

De plus, nous avons l'équation

°= (M-i"i + efc.)5* + (P-eta)sg+ete.

qui doit subsister pour toutes les valeurs appartenant aui points situés sur les limites de la surface, parallèles aux x:. et enfin l'équation ,

°- (N-i-^+ete-)te+(R-e^6S+ete-

qui doit subsister pour toutes les ^valeurs appartenant a» points situés sur les limites parallèles aux yz. Si les varia-

lions &r, 8 — , 8 —, etc., sont arbitraires, chaque terme de ces équations doit être égalé séparément à zéro.

Des cas où il existe des relations données entre les variables.

512. On a supposé généralement dans ce qui précède qu'il n'existait point de relations données d'avance entre les quantités qui entrent dans l'expression de la fonction V. Cependant la nature de la question établit le plus souvent des conditions auxquelles il est nécessaire d'avoir égard, en même temps que Ton satisfait à la condition du maximum ou minimum de l'intégrale définie proposées L'effet des conditions dont il s'agit, est de restreindre l'étendue des valeurs qui peuvent être attribuées aux variations affectées du

Si, par exemple , la valeur de l'intégrale définie proposée dépend de la figure d'une courbe, il peut se faire que les points extrêmes de cette courbe soient assujettis à se trouver sur deux lignes données, ayant pour 'équations y = ©(#), y=ty(x). Les variations &r0 et ty0 des coordonnées du premier point, et les variations &rw et tyw des coordonnées du dernier point, devront alors avoir entre elles les rapports convenables pour qu'elles puissent satisfaire respectivement à ces équations. On aura donc ici

équations qui devraient subsister en même temps que les

— inéquations déterminées obtenues conformément k ce qui a été dit dans les n* 501 et 503.

Si de plus 1* ditëcttofl de la tangente aux extrémités de la courbe cherchée devait s'accorder aussi avec la direction de la tangente des courbes ayant pour équations y = ^[x)} y = ty(x), on aurait encore les équations

dx éb? ° dx dx* *

Et ainsi de suite pour les autres fonctions différentielles. An moyen de ces équations de condition , on éliminerait une partie des variations qui se trouveraient dans les équations déterminées. Après cette élimination , les variations restant dans ces équations se trouvant entièrement arbitraires, on égalerait séparément à zéro chacun de leurs coefficients.

513» Il existe quelquefois des équations de condition qui doivent subsister pour toutes les valeurs des variables comprises dans les limites de l'intégrale définie proposée. Far exemple > si Ton demande de tracer sur une surface donnée la ligne la plus courte entre deux points pris sur cette surface, il est évident qu'en désignant son équation par

l'ordonnée de là ligne cherchée doit toqjours satisfaire i cette équation. Dans un cas semblable* les- variations da quantités qui entrent dans la fonction V étant restreintes par la condition que les valeurs de ces quantités satis&sseut à l'équation donnée , cette équation doit subsister quand on) remplace ces quantités par leurs valeurs augmentées de fo variations. Oh peut donc diffiêrentier l'équation f>h?|K)*ée par

rapport aux quantités dont il s'agit , en marquant les différentielles par 8. Ainsi

étant en général une équation de condition, dans laquelle L désigne une fonction quelconque des variables indépendantes, des fonctions dépendantes de ces variables et de leurs fonctions dérivées, on formera Féquation

o indiquant une différentiation effectuée par rapport à toutes ces quantités. Cette équation servira à éliminer une des variations qui se trouveront dans Féquation indéfinie que Ton forqie en égalant à zéro le terme qui reste sous le signe d'intégration dans Féquation générale exprimant la condition du maximum ou minimum.

Il en serait de même s'il existait d'autres équations de condition

M = 0, N = o, etc.,

analogues à la précédente. On formerait également les équations

5M = 0 , 8N = 0 , etc. ,

que l'on réunirait à l'équation indéfinie dont on vient de parler, afin d'éliminer autant de variations qu'il serait possible. Les coefficients deë variations restantes seraient ensuite égalés séparément à zéro.

514. Dans d'autres questions, le maximum ou minimum cherché ne doit avoir lieu qu'autant qu'une certaine inté-

grale définie conserve une valeur déterminée. C'est ce qu'on nomme maximum ou minimum relatif. La recherche de la courbe qui, avec un contour donné, renferme Taire h plus grande ou la moindre possible, est de ce genre. M s'agit donc de rendre l'intégrale

dx.V

la plus grande ou la moindre possible, en même temps que Ton a l'équation

const.,

à* U étant, aussi bien que V, une fonction de *, y>j:>

-r-—, etc. Les conditions du problème donnent les deui ax

équations

iTx dx'y=o' et *fXfù *•*=*

Or, l'expression de ces conditions ne sera pas altérée si l'oo ajoute la seconde équation à la première, après l'avoir multipliée par une constante arbitraire a. On peut dooc écrire

iÇ^dx.y+al C^dx.V^Q, ou 8 Ç*» dx(V+aO)=A

On traitera cette dernière équation d'après les règles exposées ci-dessus, comme si l'on voulait rendre un maximum

— aoi —

ou an minimum absolu la fonction '

*w dx(V + aV).

En effet, la relation entre y et x qui rendra cette fonction un maximum ou un minimum absolu, satisfait évidemment à la

condition de rendre / w4r.V un minimum ou maximum

pour les cas où l w<te.U prend une valeur donnée; car

s'il en était autrement, il y aurait des valeurs de la somme

f*»dx.\+afXx"dx.V, c'est-à-dire de f*"<te(V+aU),

qui seraient plus grandes ou moindres que les valeurs données par le maximum ou minimum absolu, ce qui est impossible. La constante a se détermine de manière à donner à l'intégrale

j w dx .U la valeur que Ton a fixée dans chaque cas particulier.

Exemples de l'application du calcul des variations.

515. On se proposera en premier lieu de déterminer la ligne la plus courte qui puisse être tracée entre deux lignes courbes données. Les coordonnées de la ligne cherchée étant représentées par x, y, z, il s'agit donc de rendre un minimum la fonction

les limites x0, gu étant variables. En appliquant à cette ex-

pression ce qui a été dit dans les n" 805 et 507, on verra d'abord que l'on a les deux équations indéfinies

d I dx .

d'où résulte

On en conclut que les coefficients différentiels JL Sidr ^ dx} dx

vent avoir des valeurs constantes, propriété qui n'appartient

qu'à la ligne droite. Posant donc

dV^h <**„

dà~0% dï-c'

on aura

y=zbx + m, z = cx + n9

pour les équations de la ligne cherchée, 6, c, m et n étant des constantes arbitraires

A l'égard des conditions relatives aux limites, l'équation déterminée appartenant au premier "point de la ligne cherchée est ici

qui se réduit à

Remarquons que dans cette équation &r0# 5y0, 8*0 représentent respectivement les projections Sur les axes des x, des y et dos 2 , des déplacements qui peuvent être attribués au premier point de celte ligne. Or, d'après la supposition, ce point doit ici se trouver constamment sur la première des deux courbes entre lesquelles la ligne de plus courte distance doit être tracée. Donc les variations 5#0, 8y0, &r0 peu» vent être regardées comme les projections sur les axtt de l'élément de cette courbe voisin du premier point dont il s'agit. D'oïl Ton conclut que l'équation préoédente exprime . la condition que la ligne de plue courte distance doit être perpendiculaire à cet élément.

On obtiendra une équation pareille pour l'autre extrémité de la ligne cherchée. La ligne la plus courte est donc une droite perpendiculaire aux deux courbes entre lesquelles elle est tracée.

On se trouverait conduit à un résultat semblable si la ligne de plus courte distance devait être menée entre deux surfaces

courbes données. Les variations &x*,fy0,Sx0 de l'équation précédente devraient être alors regardées comme exprimant les projections sur les axes d'un élément linéaire quelconque tracé à partir du premier point de cette ligne sur la surface courbe. Cette équation exprimerait donc que la ligne de pins courte distance doit être perpendiculaire à la surface.

Il en serait encore de même si la ligne de plus courte distant* devait être tracée entre une courbe et une surface courbe donnée. Elle devrait toujours rencontrer l'une et l'autre à angle droit.

516. Admettons maintenant que la ligne la plus courte doit être tracée sur une surface donnée. L'intégrale qu'il s'agit de rendre un minimum étant toujours

il faut, conformément au n° 507, poser d'abord f en écrivant

pour abréger W au lieu del/i+ fêY + fê) ) réquafcm Indéfinie

-£(A»K2-)+i(*SHS-). .

et se souvenir que x} y, z devant satisfaire *à l'équation d* la surface , que nous représentons par

les variations te, fy, 8* sont liées entre elles par l'équation

de condition

on mettra donc au lieu de fa celte valeur dans l'équation précédente, puis on égalera séparément à zéro les coefficients de *y et oz, qui restent indéterminées , ainsi il viendra

o—l/i M.!? ±(±Ë*\ v"dx\W dxJ^dy'dx\W dx/9

dy ±(±dy\.(dz d$\ A(±dz\ U-"<te'd*\W<*r/ + \dx dx) ' dx\W dx)'

La ligne cherchée étant tracée sur la surface dont l'équation est * = F(.r, y), les éléments dx, dy* dz des coordonnées des points de cette ligne doivent satisfaire à cette équation , en sorte que Ton a

cU__rfF rfF dy

dx~ dx dy dx' •

Cette valeur, substituée dans la seconde des deux équations ci-dessus, la rend identique avec la première, ainsi que cela doit être.

Cette première équation détermine la nature de la ligne de plus courte distance qui est .l'objet de la question : elle en exprime une propriété géométrique qui consiste en ce que son plan osculateur est constamment perpendiculaire à la surface sur laquelle cette ligne est tracée.

En effet, si Ton se rappelle l'équation du plan osculateur, donnée au n° 232 , et l'équation du plan tangent tt la surface

dont l'équation est z = F(x, y), donnée au n* 411, on eo conclura facilement qxtb la condition nécessaire pour que ces deux plans soient perpendiculaires l'un à l'autre est, par le n<> 215,

d? (dz <Py__dy d*t\ dp d*z ~dx\dx dx* dx dx*) dy dx* t M n

dx*

dF en éliminant — au moyen de l'équation

dz __ dF dF dy dx" dx dy dx' elle devient

{fe — tâfy\(dzd*y dy ^\ , d?^£ , #y 0 \dx dydx)\dxdx* dx dx*)+ dy dxt + dx'~ '

ou bien

*£!L 4. /jgV^y^ dy dz d*z dx* \dx) dx* dx dx TE?

dFTd*z /dy\*d*z dy dz d*y]n + dyldx*^\dx) dx9 dx dx dx»J '

résultat identique avec l'équation

?VW dx)* dy* dx\XV dx/""0'

dx\

ainsi qu'on peut le vérifier en effectuant dans cette derrière les différentiations indiquées.

Les conditions relatives aux limites se déduiront, cofflme dans le n° 515, en considérant d'abord le premier point de

la courbe, de l'équation déterminée

Si ce premier point est donné de position sur la surface , cette équation est satisfaite, puisque l'on a alors &r0=0, 6y0=0, 8jz0 = 0. Mais si la ligne de plus courte distance doit partir d'une ligne courbe donnée tracée sur la surface, les quantités Zx0, oy0, 8z0, expriment alors les projections sur les axes des x, des y et des z9 de l'élément de cette ligne courbe; et par conséquent, l'équation précédente montre que la ligne de plus courte distance doit être perpendiculaire à cet élément.

On obtiendrait un résultat analogue pour Fextrémité opposée. Ainsi la ligne la plus courte doit couper à angles droits les deux courbes entre lesquelles elle est tracée.

517. La recherche de la surface dont l'aire est un minimum, est un problème analogue au précédent. Nous supposerons que cette surface doit se terminer à un contour déterminé dont la projection sur le plan des x , y est donnée. L'intégrale qu'il s'agit de rendre un maximum est ici

rz */t *vqv (I)'

et on doit lui appliquer les notions exposées dans les nM 508 et suivants. Nous aurons donc, conformément au n° 5H , l'équation indéfinie

dz dx

si m- (%)'"<

c'est-à-dire, en effectuant les différentiations indiquées,

n rYrf2V i 4"irf** *dz *£ ** ,r/<feVni(Pg

L\dy) + ]d& dx dy dxdy+L\te) + W

Cette équation aux différences partielles du second ordre appartient à la surface demandée. Les fonctions arbitraires qui entreront dans son intégrale devraient être déterminées de manière à faire passer la surface par le contour donné. Lorsque ce contour est fixé, les équations déterminées relatives aux limites de l'intégrale sont vérifiées d'avance, et ne donnent lieu à aucune condition particulière.

518. Considérons encore le plus simple des problèmes connus sous le nom d'Isopérimètres, dont l'objet consiste à déterminer la figure de la courbe qui, sous un contour donné, comprend la plus grande aire possible. Il s'agit de rendre un maximum la valeur de l'intégrale définie

tandis que l'intégrale

conserve une valeur déterminée. Cette question se résout , conformément à ce qui a été dit n° 514, en déterminant les conditions du maximum absolu de la fonction

a désignant un nombre indéterminé. Nous supposerons les limites x„ et xw invariables. En appliquant donc les notions exposées n« 499 et suivants, l'équation indéfinie du n° 501 , sera ici

0 = 1-«àï'

d'où l'on tire, en intégrant une première fois, dy

« é|ant une constante arbitraire; et en intégrant une seconde fois,

y-6=-Va'-(*-«)«, ou- (x-a)i+(y 6)t = al)

«étant la seconde constante arbitraire. Ainsi le cercle résout en général la question proposée. La position du centre et le rayon peuvent être déterminés de manière à faire passer la circonférence par deux points donnés, et à donner à l'arc compris entre ces points une valeur déterminée.

2* AHXÉZ.

549. Nous traiterons enfin la question de la bradrystochrftne, ou courbe de la plus rite ctescente, en supposant que la vitesse initiale du mobile soumis à Faction de la gravité est nulle , et qu'il doit passer dans le moindre temps possible d'un point quelconque d'une courbe donnée à un point quelconque d'une autre courbe également donnée. L'axe des x étant supposé vertical, la fonction qu'il s'agit de rendre a» nnoîmam est

J X0 T JC — X0

xQ et xw représentant les abscisses des points extrêmes de la courbe décrite. Ces abscisses étant variables, on doit opérer ici conformément à ce qui a été dit dans les n" 505 et 307. 11 faut remarquer de plus que la quantité x0 entre dans ia fonction qui se trouve sous le signe /. Nous avons, en comparant aux formules des numéros cités :

V X — Xn

" dx N = 0t P

dz (te

Les équations indéfinies <pn dotaftt auteator pour to» te

— Ml -

points de la ligne cherchée sont

d'où Ton déduit

S = 0' di=0'

dfj

^RSFW

dz dx

B et G étant des éonstaàtes. Ces équations donnent

dz C dy~B'

d'oà Ton conclut en premier lieu que la projection de la courbe cherchée sur le plan horizontal des yz est une ligne droite, et par conséquent que cette courbe est contenue dans un plan vertical.

Pour reconnaître la nature de la cduirbe dont il s'agit , on peut supposer que le plan vertical des &y se confond avec celui dans lequel elle est placée. Son équation différentielle se réduira alors à

dx n

d'où Ton déduit

équation qui appartient à une cycloïde dont la base est une ligne horizontale passant par le point de départ da mobile. Le diamètre du cercle générateur est représenté par la coa-

stante ~. On voit que le premier élément de la courbe de

la plus vite descente sera toujours vertical.

A Tégard des conditions relatives aux limites de l'intégrale, l'équation déterminée donnée par les termes qui ne sont point sous le signe d'intégration, est ici

-vfa-v.fa-^^)- p. (&.-%**)

et l'on a

\MDMg)'

2fc— ag*

On trouva» la valeur de l'intégrale / "ite.^enremarquant que la différentielle complète de la fonction V est

Mais on a vu ci-dessus que les fonctions P et p devaient être constantes dans tonte l'étendue de la courbe. On peut donc écrire Pw et pw au lieu de P et p, ce qui donne

d'où l'oif tire en intégrant

J x0 "b-V—** y*> + v*>\dx dz)+Vi»\dx dx)'

Substituant cette valeur dans l'équation déterminée précédente, et remarquant que P0=P<o et p0=pw> on trouve

= 0, ou, en remplaçant Vu, Pu et pm par leurs valeurs,

dx y<0^ dx

Les variations des coordonnées des deux points extrêmes de la courbe étant respectivement indépendantes Tune de l'autre, cette équation se partage dans les deux suivantes

qui indiquent évidemment que le dernier élénjeet de h courbe cherchée doit être perpendipulajrp k 1% fois mi tangentes menées ajjx 4eu* ppurbes données 4*ns te P^ots dtdépart et d'arrivée du mobile. Il en»résulte que si les deux courbes étaient données dans ijn W&çpe plap vertical, leurs tangentes menées aux points extrêmes de la brachystochrône devraient être parallèles entre elles.

Ainsi la courbe demandée est une portion de cycloïde dont la hase est horizontale et dont l'origine est aq poipt fia départ du mobile. Elle coupe à angle droit la courbe d'arrivée, et l'origine est tellement placée sur la courbe de départ, qut la tangente menée par cette origine à cette courbe est perpendiculaire à la tangente menée à l'extrémité inférieure è' la portion cycloïdale.