XL. cAicui, dbs pimù^Hwess vnngs

520. Le caractère de l'analyse différentielle, et ce qui L* distingue de l'analyse ordinaire, ou de l'analyse algébrique , consiste en ce qu'on y regarde les quantités comme variables, et que Ton considère à la fois la succession infinie des valeurs qui peuvent leur être attribuées j tandis que dan> l'analyse algébrique on regarde toujours les quantités cornu* ayant des valeurs déterminées connues ou inconnues. Dan> le calcul différentiel proprement dit, les valeurs successive des quantités sont censées se succéder d'une manière continue, et par intervalles infiniment petits, c'est-à-dire plus petits que toute grandeur donnée. L'objet principal de <v calcul consiste dans }a recherche des rapports qui exi>î*fi' entre les variations correspondantes des variables ii &> fonctions dépendante^ fie ces variables, rapports qui don-

nent naissance à de nouvelles fonctions dont la considération est nécessaire dans les applications principales des mathématiques aux arts et à la philosophie naturelle. Dans le calcul aux différences, les quantités sont supposées varier par intervalles déterminés et d'une grandeur finie. Cette partie de l'analyse considère d'ailleurs, aussi bien que le calcul différentiel, les relations qui existent entre les variations des variables et celles des fonctions qui en dépendent.

# 524 . Le calcul des différences finies est fondé sur un algorithme qu'il faut d'abord faire connaître. Soit u une fonction quelconque d'une ou de plusieurs variables indépendantes x,y,z, etc. La composition de la fonction u est donnée, et l'on regarde les variables indépendantes comme pouvant prendre successivement plusieurs valeurs déterminées a?0, »0, s0, etc.; xi9 yt, s, , etc. ; x„ »t, *,, etc.; *,, y„ z9, etc.; et ainsi de suite. Le plus ordinairement ces variables sont supposées varier par différences constantes, et quelquefois par intervalles égaux à l'unité. La loi de cette variation, quelle qu'elle puisse être, est supposée donnée. En vertu des variations dont U s'agît, la fonction u prendra également une suite de valeurs déterminées, que nous représenterons par

«o» "i. «t» «3t w4» "*-*> Unî

et nous écrirons comme dans l'article VI,

«, — Mj = Attj

Aiij — At«0 = AHi0

|ls — W, = A«,

An, — Aiij^AHi,

At«, — AtijmAHij

Atik — An3 = AHi9

u. — uM t — Au__«

An,, — Am.l = AHim 1

etc.

On voit que le signe A indique la différence entre la valeur actuelle de la quantité affectée de ce signe, et la valeur que reçoit cette quantité par l'effet d'un changement fini, attribué aux valeurs des variables dont elle dépend. Au0 est la différence de la fonction u0. On représente par AAtt0, on A't*0, la différence de Au0, ou la différence seconde de b fonction u0. On représente également par AA*tt0, ou à\, h différence de A'tt0, ou la différence troisième de la fonction u0. Et ainsi de suite. Il existe entre les valeurs successives d'une fonction et ses différences de divers ordres des relations générales, et tout à fait indépendantes de la nature de cette fonction et de la loi de sa variation.

522. En effet, on trouve par de simples substitutions, comme on Ta vu dans l'article X,

tljzrrllç-f Au0

tiî=ti0 + 2Ati0+ AHio

ti, = ti0 + 3Ati0 + 3A*ti0+ AHi0

ti4 = ti0 + 4Aii0 + 6AX + *AHio + AX

, . , n(n — 1)., , nfn — i)(n — 2) 41 , , Kmtt . Un = Mo + »*"o+ -Ja A mo + j^3 AHi0+... + Alf#,

formule qui peut s'écrire d'une manière abrégée

ii» = (l + Atg»\

en observant de changer, après le développement de la puissance indiquée, (Au0)r en Aru0.

523. On trouve également, par des substitutions successives :

AHi0 = «i— 2t*t+ "0

AHi0 = il,— 3^ + 311! — u0

AH<0 = m4— A«, 4- 6m,— Ah, + t*0

Cette formule peut s'écrire

A-M0 = (tt0-i)-,

en observant de changer, après le développement, un en un. Elle peut servir à trouver directement les différences d'un ordre quelconque d'une fonction proposée, au moyen d'un certain nombre de valeurs successives de cette fonction. Le nombre des valeurs qu'il est nécessaire de connaître est égal à l'ordre de la différence cherchée.

524. On indique par le signe £ une opération inverse de celle qui est indiquée par le signe A; Ainsi £u0 représente la ' quantité dont la différence est u0. Nous écrirons donc , en continuant le tableau précédent vers la gauche,

etc.,

2'm,— S«til=SMl

Stt4 — £#,=1(3

SWh+4— £tt»=tl*

Un

d'où Ton déduit

2M1 = 2ii0 + tt0 2ttt = 2ti04-tt0 + ttt

Su, = S«04-K0 + ?ij+ttf

ÏM4 1= 2|#0 + U0 + «i + «, + K|

SMW= 2w0 + tt0 + ttj + M2 + ti, + +«*-!.

On voit que 2un, ou l'intégrale finie deu^, c'est-à-dire U quantité dont la différence est un, se forme de l'addition des n valeurs de la fonction u qui précèdent la valeur ut, et d'une quantité 2up qu'il faut regarder ici en général comme une constante arbitraire. En effet, supposant u donnée, et par conséquent u0, ui,ui,u^, etc., on n'a assujetti, en écrivant les équations précédentes, les quantité $t* et Su 0 à aucune autre condition , si pe n'est celle d'avoir pour différence u0. Donc l'une de ces quantités est use Montante arbitraire.

On déduit également des équations précédentes i

puis

SX = SX + Zu0

SX = SX + 2«0 + Et*! + 2îj,+ Su8 '

SHi* = EX + Si<0 + 2«4 + 2m, + Etis+ +2*-, ;

X^-SHio + ï'tto

SX = EX + ïty + S'Mt + 3**,

SX = SX + sx + sx + sx + sx

sx = sx+ sx+ sx+ SX+ sx+... + SHln-, ; et ainsi de suite. On a m général

On doit remarquer que dans la valeur de 2\, il entre deux constantes arbitraires, qui sont ssu0 et Su0. Dans la valeur de S'un, il entre explicitement les deux arbitraires EX et SX, et implicitement l'arbitraire Sw0 qui est comprise dans s,u1,£1tfs9 etc., et ainsi de suite. Enfin dans la valeur de sx>, il entre explicitement lp$ (Jeux arbitraires S'u0 et s^u,,, et implicitement tes i — 2 arbitraires s^, S'-Xf

2*~X» Su0 qui sont comprises dfins P~*ui} S1"1^,

^'tt,, etc.; en sorte que l'intégrale &un comprend toujours t constantes arbitraires.

525. Nous*devons remarquer d'ailleurs qu'il n'est pas toujours indispensable que dans l'intégrale

ZuH — Stto + «o + «1 + «ï + «3 + + w*-m

la quantité désignée par £u0, qui la complète, soit une constante. On pourrait prendre pour cette quantité une fonction quelconque des variables qui entrent dans la fonction », pourvu que la fonction dont il s'agit eût la propriété de ne point changer de valeur lorsque ces variables prendraient leurs valeurs successives. On sait qu'il existe plusieurs fonctions trigonométriques qui présentent cette propriété quand on fait varier les variables par différences constantes.

Diffêrentiation des fonctions.

526. Soit u une fonction contenant une seule variable x. Différentier la fonction t#, c'est chercher la valeur de l'accroissement Au que reçoit cette fonction lorsque la variable x devient x + bx. Ainsi de l'équation

u = f(x)f nous concluons en général

£iu = f(x + bx)— f{x).

Si la fonction u contient plusieurs variables indépendantes x> V> *y etc-> cette fonction peut être différentiée séparément par rapport à chacune des variables. Posant

u = ftx,yfz, etc.),

ces différences sont exprimées séparément par

~ix=zf{x + Axty,*,etc.,)— f(xf y,*, etc.),

Au

— Ay = f(x, y + Ay, *, etc.,) — /"(*, y, z, etc.),

Au

^ ùu = f(x, y,z + \z, etc.,) — f(x9 y, z, etc.),

etc.

La différence totale est

Au — f(z + Ax, y + Ay, s + Az, etc.) — /fa, y, z> etc.).

Cette différence totale n'est pas, en général, égale à la somme des différences partielles. Elle le serait si la fonction f(x,y, z, etc.) était une somme de fonctions séparément relatives aux diverses variables x, y, z, etc.

527. Considérons en premier lieu les fonctions rationnelles et entières d'une seule variable x. Elles sont composées de termes de la forme Axk , A et k étant des constantes : la recherche de leurs différences se réduit à trouver celles de la quantité x*.

Nous avons généralement

ou bien

A, xk = (x + Ao?)* — «* ,

A . ** = kx>~* A* + ffiLjy a»- *(Ao?)*

Si la différence fer est supposée constante , on obtient facilement l'expression générale de la différence d'un ordre quelconque de la fonction proposée* En effet, on a alors

= (* + 2Ax)k,

= (x + 3Ax)*,

etc.

et la formule du n° 523 donne

A», x* = (x + nAa;)*— n[x + (n— i)Ax)* + ^^^ [* +tn- 2)A*]* - etc.;

ou en développant et ordonnant par rapport aux puissances de àx,

+ fc[«-J(n-i) + î^=l)rn-2)- ]*-"*

+ ^[n«- 5{»-V.+ 2^(„-2).....]^-(W .+ etc.,

expression dont la loi est évidente.

528. Nous remarquerons d'ailleurs : 1° que le terme atëcte de xk est nul, quel que soit le nombre entier n, comme on peut le vérifier; ¥ que la quantité

est également nulle, tant que * est plus petit que n, ce que l'on peut également vérifier, et ce qui doit être, puisque l'expression A\a?' ne peut pas contenir de puissances de a# inférieure» à la puissance n/ 3* enfin que l'on a toujours