Les expressions de Ssin.x et Scos.x du n* 539 donnent

oos.

Ssin.« =

Ssin,^

sln. (x + ôte) = ^ — j^ — *- + const*

Scos.#

2sln. - bx

Ces formules donnent la somme d'une suite de terme formés de sinus ou «xwinus d'arcs croissante en progressif par différence, On en déduit en effet, en écrivant p+î*' la place de x, et qt* à la place de Ax,

Ssin.(p+^p)

COS. ( p+qx+ s ?**) C0B- (P— â ^) --,-^3 j 1 + ^ -,

sin. (p + Ç^ + g ?**) ** (p— j***)

sco*(p +<}*)=

2sin. ^ çA* 2siiL *?lr

la constante étant déterminée de manière que les séries commencent respectivement par les termes sin. p et cos. p.

Intégration des équations aux différences finies, linéaires et à coefficients constants.

547. Considérons, comme dans les articles précédents, une variable indépendantes, et une fonction y de cette variable. La variation de x est la constante àx, qui est toujours connue. Une équation aux différences finies exprime en général une relation entre la variable 0, la fonction y, et un certain nombre des différences Ay, A'y, A'y, etc., de cette fonction.

On voit d'ailleurs sur-le-champ qu'en mettant h la place de Ay, A*y, A,yl etc., les expressions générales du n° B23, la relation dont il s'agit se trouvera donnée entre #, y0, yi9 !ft? Vz9 etc., l'indice du terme le plus éloigné dan* la série des valeurs de y étant égal à Tordre le plus élevé des différences contenues dans l'équation proposée. D'où l'on voit qu'une équation aux différences finies n'est autre chose qu'une relation entre un certain nombre de termes consécutifs d'une série, par le moyen de laquelle on peut déterminer tous les termes de cette série, après en avoir pris arbitrairement un nombre égal à l'ordre de l'équation.

Intégrer une équation aux différences finies, c'est trouver l'expression du terme général de la série dont on vient de parler. Il résulte de ce qui précède que cette expression doit nécessairement contenir un nombre de constantes arbitraires égal à Tordre le plus élevé des différences qui se trouvent dans Téquation, ou à l'indice le plus élevé des valeurs successives de la fonction y qui y sont contenues.

548. Le cas le plus simple est celui où l'équation proposée se réduit à

A«y = 0 , laquelle, d'après la formule citée du n° 523, revient à

et d'où l'on tire

Le terme de la série affecté de l'indice n est donné ici par h somme de n termes précédents, multipliés chacun par des coefficients numériques dépendants de cet indice.

L'intégration de l'équation Amy=0 s'effectuera d'ailleurs d'après ce qu'on a vu dans le n* 535. On aura

A,, At, As, etc., étant des constantes arbitraires; et en général l'intégrale de Tordre n sera

y = a + olxx + a^* + 0^*+.. + a^-tS1^1 j

a^a^a^a,, an i étant des coefficients constants arbitraires, dont le nombre est égal à l'ordre de l'équation.

— *44 — 549. Considérons maintenant l'équation

y,+* + Py»f*-i + Qv*+»-i+ Ry*+*-a+ + Uy.= 0f (m)

dans laquelle P, Q, R, U désignent des nombres constants. Si nous posons y,=p", p désignant une constante, tous les termes, après la substitution de cette valeur, seront divisibles par p*, et il restera

p" + Pp*-1 + Qp*-* + Hp*-* + + Ot=0f (n)

en sorte que l'expression ym=p* satisfera à l'équation proposée (m), pourvu que p soit l'une quelconque des racines de l'équation (n).

En représentant donc par ?\, p„ p„ p» les n racines de

l'équation (n), que nous supposons d'abord toutes réelles et inégales , nous aurons pour y les n valeurs particulières

H=?im>y=(>%*>y=P*'> y=P»*; «* puisque l'équation

(n) serait également satisfaite par la somme de deux, ou d'un nombre quelconque de ces valeurs , Ton aura

y» = AtP,* + A,p,* + A8p,* + + A„pn*

pour l'expression de l'intégrale générale de cette équation ; À„At>As, A» étant les * constantes arbitraires qui doivent entrer dans cette intégrale.

580. Dans le cas où l'équation (n) a des racines imaginaires, soient

P1 — 2Ap cos.? + fc* et p = fc(cos.? =fc ^TaliLf)

un des facteurs réels du second degré de son premier membre, et les deux racines imaginaires correspondantes. On re-

connaîtra, par le ri* UT* tpié F&titttioh (»} est Satisfaite par les deux valeurs particulières

y = k*(coa.yx + ^— 1 sin.ça?) et y = fc*(cos.?a?— ^— 1 sudlpj),

et, par conséquent, par la somme de ces valeurs, multipliées chacune par un coefficient constant quelconque. D'où l'on conclut que la partie de l'expression générale de la fonction y correspondante aux deux racines imaginaires dont il s'agit est, sous forme réelle,

B,fc* cos. <px + Btfc* sin.fx ,

Bt et B| étant des constantes arbitraires*

551. Le cas où l'équation (n) a des racines égales se résout d'une manière semblable à oe qu'on ft tu dans te n° 410. Si l'on représentait par p, et ft + m deut des racines de cette équation, qu'on rendra égales en posant «=0) la somme des valeurs particulières correspondantes serait

ÀtPf + ÀJfo + wi»,

ou, en développant la puissance indiquée,

(At + Ajfc« + A,o> . *Pl*-i + A.CO» -5^y Pl*-« + etc.

Or, on peut donner à A1 et A, «es Valeur* telles qaë Ms quantités At + A, et At» restent ÛéA constante Bnies arbitraires Blt Bt, quel que soit w, tandis que les coefficients suivants Atwf , etc., deviendront infiniment petits, lorsque l'on supposera la valeur de u> infiniment petite: cela étant, fiâtes «=0, et l'expression précédente va se réduire à

BiP^ + B^p^1.

Dans le cas d'une troisième rfltinfc égale à p,, on auppo-

sera de même que cette racine était d'abbrd p, -f u> et kpie fo s'évanouit : la somme des trois valeurs {urtictilières (correspondantes à la iftcibe double j>t et à lit ratine ft + <*> teta

ÂlPl* + A^-1 + At(Pi + *>r , OU

(ftt + àjpi- * (A, + â^)«Pi»-« + âsto»^^ Pl-«4- etc.

Et comme Ton peut attribuer aux constantes A^A^Â^des valeurs telles que les quantités Aj+À^Aj+Aj^à^ testent des constantes finies arbitraires, quel que soit w, tandis que les boefficiehts suivants s'évanouiront avec u>, là sortinie des trois valeurs particulières dont il s'agit prend, pour w=0, la formé

Et ainsi de suite dans le cas où il y aurait un plus grand nombre de racines égales entre elles.

552. Les constantes arbitraires introduites dansYintégrale générale, se détermineront toujours d'après la condition que cette intégrale reproduise n valeurs données de la fonction y, correspondantes à n valeurs également données de la variable x.