En supposant
, d. sin. x cos, x . da?
• * sin. a; sm.x tang.x
. d. cos. x sin. .r . dx
* * v cos. a? cos. a? cota?
35. Les géomètres appellent fonction inverse de la fonction f(v) la fonction de u , que Ton obtient en résolvant par rapport à v l'équation u=f{v). Ainsi la fonction arc. sin.a? est inverse de la fonction sin. x. On obtient facilement la différentielle de la fonction inverse quand on connaît celle de la fonction. En effet, supposons
y =z arc. sin.a? ,
et proposons-nous de trouver la différentielle dy. On a donc
x = sin. y;
et prenant les coefficients différentiels de part et d'autre (*),
) Quand deux fonctions f(x), F (s), sont égales entre elles, soit pour toutes les valeurs de x, soit dans une certaine étendue des valeurs de cette variable, leurs dérivées (et par suite leurs différentielles) sont aussi égales entre elles dans cette même étendue, puisque des deux
équations
f(«) = F(«)f f(* + As) = F(*+A*),
on tire
f[* +**) — ((*) F(a?+As) — F(s) As ~~ àx '
d'où résulte , en passant à la limite , f («?) = F' (a?) , C. Q. F. D. On aurait encore f(x)z=P(x)t si la différence f(*)— F (s), au lieu d'être nulle, était exprimée par une constante G.
en regardant dans le second nombre y oomme une fonction de s, et appliquant la règle du n* 34
l = cos.y.*L
On en déduit
dx cos. y ^i __ x*
En opérant de la même manière sur les autres fonctions trigonométriques, on trouve
o.are.siD..r=.- — — ~ —
=, d.arct»ng.x=T:i, d.arcséc.* = ■ ,— -,
Aarcco8.ar= s d.arc.cotx=— , ?, rf.arc.coséc..r=-
jl— x* *+*" a?0c«— 1
La considération des fonctions inverses pourrait servir aussi à ramener la recherche de la différentielle de a* à celle de log.x. En effet de l'équation y = a* on conclut log.y = log. a. x. Donc, en prenant la différentielle des deux membres
log. *. — =log.a.<£r, ou dy = y^.a?dx.
Jf *0©« €
36. Il convient d'avoir présentes à la mémoire les expressions des différentielles très-simples que nous réunissons dans le tableau suivant :
*ûi + 6) = <k*f d.8in.;r = cos.:E.<te d.arc. sin. a? =
dx
i^=axÊ^idx <Lcos.x~—B\n.x.dx d.arc.cos.aî=— • .
<■; = -§ AtaBfr*=cSi *ai^tang.* = ^
. #— dx
rf. \/x = — =
d.cot a? = -
dx
sin.*:r
j , , dx . . sin.x.ffcr
d.\og.x=\og.e— d.sée.x = - — i~ x cos.*a?
rf.arc.cotjr=— d.arc.séc.x =
dx dx
Xs/x*— 1
rf.a* = la.a*dx d.cosèc.x = -
cos.;r.Gkc
d.arc. coséc.x =
dx
otsO* X X » j;-—
Quant aux différentielles des fonctions plus composées , on doit les former d'après ce qui a été dit n° 30. 37. Soit par exemple
y = (axm + b)n :
on décomposera cette fonction comme il suit :
y = m», u = av + à , u = #"».
Appliquant les règles précédentes , il viendra
dy = nun-*du , rfti = adv , cfo = mxm'idx ;
et en substituant
du = a.mxm-*dx
dy = nfar"1 + 6)n~1.awa?w,"lrfa:.
Mais l'usage du calcul montrera bientôt qu'il est superflu de poser ces équations, et que Ton peut opérer immédiatement sur les quantités contenues dans la fonction proposée. Ainsi l'on différentiera d'abord par rapport à ax» + b , ce qui donnera
dy = r^ax™ + 6)*-*. d{ax~ + b).
Puis pour former la différentielle i (axm + 6), on différentiera par rapport à sr*, ce qui donnera
d(axm -f b) = a.d(xm).
Enfin Ton a
d(i^) —mjf^ldx.
La substitution successive de ces valeurs conduit à celle
ûtdy.
Soit
y =siiL —z
ai
Pour suivre l'esprit des règles énoncées , on doit donc écrire
y = sin. tt t = — , «=v^» B^l-û'i*,
ce qui décompose la fonction proposée dans les fonctions simples qui y sont contenues, fonctions dont on connaît immédiatement les différentielles. On aurait ainsi
; A t u.dtt.r — as, (ht A dp , lrt j
et en substituant
àKxd&__
(i — AflT
dy —Cos.
V^i — aV'ti — a»*1}!*
Mais sans poser les équations précédentes , on peut opérer
immédiatement sur les fonctions contenues dans la fonction
ÛX
proposée. Ainsi difTérentiant par rapport à
I* ospr
on a
ax ./ ax \
dy = cos. . . ai . \.
Considérant ensuite . comme une fraction de la
forme-, on a tr
. I or \ __ y/l — a*x\adx — as.d ^/l — a**'
On remarque ensuite que
et enfin que
d(l-aV) = — a*, îxrfa?.
Donc en substituant chaque expression dans l'expression précédente , il vient
afxdx
d\/i —a**1 = — "/. ri • * yl — a'*'
/ ax \ __ adx \y/i — a*x*J (i-a'x*)\ '
. ax adx dy = cos, —==== . =.
Soit encore
ati'UDf . -— — -
f désignant, comme on Ta indiqué n° 16, la base des logarithmes népériens . et u , r deux fonctions de la variable in-
dépendante ar, Dîfféreutiant en premier lieu par rapport à
au* teng. -— — r, on a
. EU1 , UBf — — , / , . fl* \
U prtKluit a«! iang, -r— — pétant différcntié par rapport
il4
mx deux facteurs m** et tanjr, -s—; , il vient
'n a ensuite
dfau*/ = a. 2urfu , et ri tang. , a =
cosJ
puis
et enfin
u" (u* + v*).2udu — u1. d(«f H- i>') t
(WT 4 t>V
Substituant chaque résultat dans l'expression précédente, il
nent
ms + i?1 (w* + y')1
tftang. 3
2up(Pfia — udaj
tf 4. y*"
{tf + uV-cos.'^-,
'(-"•^■)-(-^-+;^aV
dy = e »,+*,.2a / tang.-i--i.tirfu + 2 ^-\ ,
^ U+V (tf + ^COi.^/
Afin que la différentielle demandée dy soit exprimée au moyen de la différentielle dx de la variable indépendante,
on mettra ensuite à la place de du sa valeur -7- dx, et à la
dx
place de dv sa valeur — dx.
Les exemples précédents suffisent pour faire connaître la marche de l'opération dont il s'agit, opération qu'un fréquent usage rend très-facile.
IV. DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDEPENDANTES.
38. Nous concevons , en revenant aux notions présentées dans le n° 2, qu'il existe une seule équation entre plusieurs variables. Toutes les valeurs de ces variables sont alors arbitraires, à l'exception d'une seule. La variable dont on suppose la valeur déterminée par l'équation, après que Ton s'est donné arbitrairement les valeurs de toutes les autres, est fonction de ces dernières, qui sont les variables indépendantes. Cette relation s'exprime en écrivant
zz=f(v,v$x, y ,...), v, v, i,y," désignant les variables indépendantes , et * la
variable qui est fonction des autres. On doit donc imaginer qu'à chacune des variables u, v, x, y,... sont attribuées toutes les valeurs comprises entre — oo et + °° ♦ et se représenter la succession des valeurs correspondantes que prendra la fonction z.
39. Lorsque les variables indépendantes sont au nombre de deux seulement, et que Ton a
la géométrie donne encore le moyen de se représenter d'une manière sensible la succession des valeurs de la fonction z. Concevons dans l'espace trois axes qui se croisent à angles droits en un point o, fig. 2. On regardera les variables indépendantes x et y comme deux abscisses dont les valeurs arbitraires sont portées en op et oq sur les premiers axes , et s comme une ordonnée dont la valeur déterminée par la relation z = f{x, y) est portée en or sur le troisième axe* Les deux valeurs attribuées à x et y déterminent un point m situé dans le plan des xyy et en élevant au point m une perpendiculaire au plan des xy9 dont la longueur m M soit égale ior, la position du point M sera telle qu'il aurait respectivement pour projections sur chacun des axes les points p, q, r, on qu'il serait la commune intersection de trois plans , dont le premier serait mené par le point p parallèlement an plan des yx, le second par le point q parallèlement au plan des xz , le troisième par le point r parallèlement au plan des ry. En attribuant à xet y toutes les valeurs possibles depuis — » jusqu'à + », le point m prendra toutes les positions possibles dans l'étendue du plan des xy. Les valeurs de z détermineront les positions correspondantes du point M, et l'ensemble de ces positions formera une surface dont la figure fera juger de la
nature de la fonction * =>f (x, y), et de la marche progressive de ses valeurs.
Lorsque le nombre des variables indépendantes surpasse % il n'est plus possible de trouver ainsi dans la géométrie une image sensible de la nature et des propriétés de la fonction. Diverses recherches de physique donnent lieu à considérer trois et même quatre variables indépendantes ; mais , lorsque le nombre de ces variables est plus considérable , les questions n'appartiennent plus qu'à l'analyse , dont rien ne restreint la généralité , et qui embrasse toutes les combinaisons auxquelles peut donner lieu la considération des grandeurs.
40. La différentiation des fonctions de plusieurs variables indépendantes dépend des mêmes notions qui ont été présentées dans les articles précédents. Chaque variable indépendante u, v, x, y y... est supposée croître progressivement par différences infiniment petites du, dv, dxy dy,... dont chacune conserve une valeur constante, mais qui n'ont entre elles aucuns rapports déterminés. La variabje z varie en conséquence de la quantité infiniment petite dx, dont la valeur s'obtient toujours par la considération de la limite du rapport des accroissements de la fonction et de chaque Variable indépendante. Soit la fonction
En supposant que x et y croissent respectivement des quantités quelconques Ax et Ay, la variation correspondante &z de la fonction pourra se décomposer en deux parties , lune provenant de la variation de x seule, l'autre de la variation de y ; en effet on peut écrire
tu =* [fls+fct, y) — ffa y)]+[/(*+A*, y +byy~f(m+ â*, y)]9
ou , « qui forint au même ,
^JKx+texy-rxM) ^ t ffgj- Ag, y+Ay)-f (s+Ag, y)
Aa? Ay ^"
Admettons maintenant que les différences àx et Ay s'approchent indéfiniment de zéro, le rapport^ — - iLj]l)
Aar
aura pour limite , conformément à ce qu'on a vu dans Far-
«Ce 1,^4^; et le rapport** + ***+**) -fl*+***> dx rr Ay
aura pour limite , d'après le même raisonnement qui a été
d f(x v) fait dans le n° 26 , 1. * L'expression de la différentielle
demandée est donc
dy
dy dy "
que Ton peut écrire ainsi
. dz . t dz .
41. Si la fonction proposée contenait trois ou un plus grand nombre de variables, on lui appliquerait les mêmes considérations ; en sorte que posant
ou a également
que Fan écrit d'une manière plus simple
dz . dz . dz .
Et ainsi de suite s'il y avait un plus grand nombre de variables.
Remarquons que , dans cette formule , le terme — dv représente la différentielle de la fonction proposée que l'on trouverait en regardant v comme seule variable; c'est ce que Ton nomme la différentielle partielle de la fonction % prise
dx dz
par rapport à v. De même les termes -r- dx et — dy représentent les différentielles partielles de la fonction z prises respectivement par rapport à a? et à y. La somme de ces différentielles partielles forme la différentielle totale dz. Les frac-
dz dz dz tions -p , — , — sont ici des signes analytiques qui repréav dx ay
sentent respectivement les coefficients différentiels de la fonction z pris en regardant v seule comme variable , x seule comme variable, y seule comme variable. Le dz qui est au numérateur représente la différentielle partielle de z prise par rapport à t>, à x ou à y, et ne doit pas être confondu avec le dz qui est dans le premier membre de l'équation , et qui représente la différentielle totale de la fonction z.
Remarquons que, d'après l'indépendance des valeurs des variables v, x, y, rien n'oblige à supposer qu'elles varient toutes à la fois. Ainsi celui qui demande la différentielle de la fonction z = f(v, xy y9) indiquera si cette différentielle doit être totale y auquel cas elle est exprimée généralement par la formule précédente, ou bien si elle doit être prise par rapport à une , ou à quelques-unes seulement des variables. On supprimerait alors, dans la formule dont il s'agit, les termes relatifs aux variables qui seraient censées ne point subir d'accroissements.
