La différentiation des fonctions de plusieurs variables

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indépendantes étant ramenée, d'après ce qui précède , à difTérentier la fonction par rapport à une des variables seule, on appliquera sans difficulté, dans chaque cas particulier, les règles npmétà dans l'article précédent.

43. Lûtfiqoe la fonction proposée ne contient que deux variables indépendantes, comme

les diverses parties de La différentielle totale

. dU . . dz .

représentées par la géométrie , conformément à ce qu'on a vu n° 39* Soit m {fig. 3) le point du plan des xy, dont les coordonnées ûp3 oq représentent x et y, et M le point de la surface projeté en m, dont l'ordonnée or représente la valeur de lu fonction z. Les accroissements &x et ty seront représentés par m/ et m/. Soit m ri la projection sur le plan des xz de la courbe d'intersection de la surlace par un plan mené par le point M parallèlement au plan des xz. Soit également tri ri lu projection sur le plan des y z de la courbe d'intersection de la surface pur un plan mené |ùt le point M parallèlement au plan des yz. Il est visible quenV représente la variation que subirait l'ordonnée s> si l'abscisse x Mita < misait de Ar ou no/; et que ri'r" reprénoie la variation que subirait cette même ordonnée si l'ab-

y seule croissait de ày ou m/ ♦ La variation totale de l'ordonnée -, c'est-à-dire celle qui résulte de T accroissement simultané des deux abscisses, est représentée par lu différence entre l'ordonnée du point M de la surface qui se projette en m et l'ordonnée du point de cette même surface qui

se projette en n. Lorsque les accroissements sont supposés

infiniment petite, nV exprime la partie — dx de la différentielle totale, et le coefficient différentiel — pris par rapport

à x est représenté par la tangente trigonométrique de l'angle

dz rimY. De même ri'r" représente la partie -p dy de la différentielle totale, et le coefficient différentiel — pris par rap-

' port à y est représenté par la tangente trigonométrique de Fangle n"m"r". On voit que, dans le cas des accroissements infiniment petits, la variation de l'ordonnée z, lorsqu'on passe du point de la surface projeté en m au point projeté en n , est toujours la somme des variations qui out lieu respectivement quand on passe du point projeté en m aux deux points projetés en p' et p". On reviendra dans la suite sur ces considérations , auxquelles il sera donné un plus grand développement.