Si la fonction u était une fonction rationnelle et en

tière de x de l'ordre r, la différence A't*0 serait constante, et par conséquent les différences des ordres suivants seraient nulles, comme on l'a vu n° 527. L'expression précédente aurait donc un nombre déterminé de termes; en sorte que ' la connaissance des r+i premières valeurs de u suffirait pour continuer indéfiniment la série , et donner des nombres exacts. Cela se voit aussi en remarquant que si l'on fait a*u = 0 dans l'équation du n° 523, on en tire

formule qui donne un terme quelconque de la suite uoyulf u2, etc., au moyen des n termes précédents. Cette circonstance n'a pas lieu en général, mais si les différences successives Au0 ,A*ii0, A3u0, etc., ont des valeurs décroissantes, comme cela arrive dans les cas auxquels s'apnliquent les méthodes dont il s'agit, on pourra supprimer les termes qui seront assez petits pour ne pas influer sur la valeur des résultats, eu égard au degré d'exactitude avec lequel les nombres sont calculés. La formule précédente pourra servir alors à prolonger la série; mais on conçoit qu'à mesure que l'on s'éloignera davantage des nombres donnés , on sera exposé à commettre des erreurs de plus en plus grandes.

Il importe de remarquer d'ailleurs que dans les cas où les différences d'un certain ordre r sont constantes, ou peuvent être supposées constantes, le calcul des termes de la suite ti0,tt19us, etc. , qui dépassent le terme ur, n'exige plus que de simples additions. Soit par exemple la fonction

m, = #* — fcr* + 6#— - 1 , et supposons A#= 1 . On calculera les quatre premiers termes,

correspondante aux valeurs x=Q,x=i1ç=%,x—Z, et Ton formera le tableau suivant

An.