AH
La natqre de I3 fonction prqposée, indiquant que les différences troisièmes sont constantes ^ on voit que l'on pourrait continuer la série des valeurs de u» par la formule
A*u* AHl
dans laquelle on ferait n0=— 4, Ati0=â, A,«*0;=— 4,A\=*. Mais il est l>eaucoup plus simple de prolongée le tableau en écrivant la différence constante 6 dans la dernière colonne à droite, et formant par addition les colonnes en revenant de droite & gauche.
um
Au,
là
etc.
I^es réspltats que Tpn pbtjant ici sont entièrement exacte Ma,is \\ n'eq serait pas de môme si las différences, du dernier ordrp que l'on cQjisjdfcre prêtaient pas. rigoureusement constates. D faudrait fdors calculer d'avance quelque* terme» éloignés de la «prie^ et s'assurer que ces termes sont reproduits pur le rpade de calcul qui vient d'être indiqué-
55p. L'omet- (le l'interpolation consiste d'ailleurs, non pas à prolonger Indéfiniment une sérip de termes dont un certain nombre jgptyt a^ûnuéç,, Wi$ fc calculer les termes intermédiaires dan$ une série dont un certain nombre de termes sont déterminés de distance en distance. Quoique la formule du n° 553 n'exprime, à proprement parler, que des relations entre les valeurs de u qui répondent aux valeurs déterminées 0, Aar, 2Aar, 3Ax, etc. , de la variable a:, on la regarde confine exprimant en fonction de x les valeurs de u , qui répondent à des valeurs quelconques de cette varjahle comprises entre les précédentes. Si Ton attribue à x une valeur moindre que fcr, l'expression de u» sera, dans la plupart des cas, trèsconvergente, et donnera facilement une valeur fort approchée de cette quantité.
D'après ces notions, le calcul des tables, telles que les
tables de logarithmes ou les tables astronomiques, peut être
réduit à calculer exactement en premier Heu, au moyen de
l'expression analytique des fonctions, un petit nombre de
termes à intervalles éloignés; et en second Ijeu, à former les
termes intermédiaire^ par de simples additions. Nous avons
supposé ci-dessus l'accroissement Ax constant. Admettons
qu'entre deux quelconques des termes cqtypus tt^i*,,**,,
t*„ etc. , qui répondent aux valeurs 04 tuc^xx^tuç, etc. , de
la variable x, on veuille interpoler ug flûiphrp n\ — \ (le ter-
Ax mes distribués à intervalles égaux, Soit &r= — le nouvel
incrément de x. Il est évident, d'après ce que Ton a vu dans le numéro précédent, que l'on formera facilement les termes intermédiaires demandés, si Ton connaît w0,ôei0,§*u0,oiMf,elc., et éi Ton peut supposer constantes les différences d'un certain ordre marquées par S't#0; puisque Ton aura alors la dernière colonne d'un tableau semblable à celui qui a été donné pour exemple, et les premiers termes de toutes les autres colonnes. Or, si l'on regarde, d'après ce qui a été dit cidessus, la formule du n° 553, comme devant donner les valeurs de u correspondantes aux valeurs intermédiaires de x, cette formule donnera d'abord, en écrivant m&r au lieu de àx,
expression dans laquelle u0, Aw0, Aau0> A*u0, etc- , doivent être regardées comme des quantités constantes et connues par le calcul préliminaire qui a été fait des termes de la suite qui répondent aux valeurs 0, àx, 2A#, 3A#, etc. En différentiant ensuite par rapport au signe o, et remarquant que les produits
mfccVmte"" JyjnSx )
formant une fonction rationnelle et entière de x, leurs différences des ordres inférieurs à l'ordre marqué par le nombre des facteurs sont nulles, on trouvera
iru* =
\m$x\mox / \mhx )"\mfa / }'1~
+ rj^-/r.
màx\m%x~
^4-etc.
Cette expression donnera les différences cherchées Su0,ô*u0, osw0, en y faisant rr=0 après que les différent iations indiquées auront été effectuées. Les formules dont il s'agit pouvant être employées utilement dans les applications, nous donnerons les expressions des différences des premiers ordres. En développant les produits indiqués, on trouve facilement en premier lieu
8 — Ai*ft mlx w°
^ \m?(ùx)* màxj 1.2
kms(*r)s
m*(ïx)*^ mlxj 1.2.3
nt1^;*
mfiâ^ 1.2.34
&Hi,=
A'ii0
m*(5x)* 1.2 + */* 3£LA^L
ro8(fcf ^ m«(^)V 1.2.3.4
™* I m^f^sf 1.2.3
etc.
En employant ensuite l'expression de â*.x* du n° 528, dans laquelle il faudra faire x = 0, ce qui la réduit \ squ ileraier terme, ces formules deviennent
1TA , i-m4L , l-3m + 2m!..
1 — 6m + Um' — 6m' 2.8.*.tp»
84«0^[^o + etc.]
etc.
Il ftt rarq que Ton §oit dans la cas d'employer des différences d'un ordre plus élevé que le quatrième. On voit d'ailleurs que si Ton s'arrête aux différences de Tordre r des nombres u0, uwu,, etc., de la série proposée, c'est-à-dire si l'on regarde la différence Aru, comme étant constante, 3 en résulte la conséquence que la différence du même ordre $ru, des nqmbres qu'il s'agit d'interpoler entre les précédents
est également constante et égale à — r> * — * *utf le
nombre des termes insérés entre deux termes consécutifs de la suite proposée. Les résultats précédents donneront toujours les moyens d'interpoler une suite de nombres placés à intervalles égaux entre les termes d'uflft suite donnée qui sont également placés à intervalles égaux.
556. Pour donner un exemple de l'usage de ces procédés, on déterminera les valeurs de la fonction
tt, = a5» — ôa^ + te — i
considérée n<* 554, qui répondent aux valeurs de x, croissant par. dixièmes de l'unité. Nous avons donc ici
AHi0 = -A A»i*0= 6
et les différences des ordres supérieurs sont nulles.
Mettant ces valeurs dans les formules précédentes, où ('on fera m = 10, il viendra
Ainsi, le calcul des valeurs intermédiaires demandées, s'opérera de la manière suivante :
ua
5fn*
etc.
On peut voir, dans le Précis qui est au devant des Tables de Logarithmes de Callet, page 64, les précautions qu'exigent les calculs de ce genre et la manière de corriger les petites erreurs auxquelles ils peuvent donner lieu lorsque les valeurs des différences ne sont qu'approchées.
557. L'usage des tables de logarithmes ou des autres tables du même genre, donne lieu à une application continuelle do procédé de l'interpolation. L'emploi des parties proportionnelles se déduit immédiatement du procédé qui vient d'être exposé en supposant les différences du second ordre nulles, et réduisant l'expression de ux, écrite n° 554, à
Si les différences du second ordre ne sont pas nulles, on aura donc un résultat plus exact en employant les trois premiers termes
, x . , x[x— bx) AH*0
Cet usage des tables donne lieu aussi à la question inverse du problème de l'interpolation, c'est-à-dire à la recherche de la valeur de x, qui répond à la valeur donnée u9 de la fonction fi. Quand on peut supposer nulles les différences des ordres supérieurs, la première des équations précédentes donne
x = Aa?
Si cette formule ne présentait pas l'exactitude nécessaire, il fendrait écrire
H ''+(É-')dfc+~'
Après avoir calculé une première valeur approchée dèx,
au moyen de l'expression àx -*- — -, on la substituerait
dans le second membre pour obtenir un résultat plus exact. Cette seconde valeur de x pourrait être substituée de nouveau pour obtenir un résultat plus exact encore.
558. Nous avons supposé, dans le n° 554 et les suivants , que la variable x croissait par différences constantes , ou que les nombres de la suite proposée étaient distribués à intervalles égaux. On peut encore, dans les cas où cette condi-
tk>n n'aurait pas lien, établit tine formulé d'inlefpolàtion analogue à l'expression de tix dû n* 554 Rémartjuons qu en mettant dans cette expression pour Au0 , A*u0 , A*u0> etc., les valeurs écrites n° 523, elle devient
bit bien
+«■1 ê-è5(è-«)+râè(â-')(É-')-* H râê(â-)(É-»H
+etc.
En faisant oc = 0, cette équation se réduit à «,=*,>; a faisant fe sa Ai?, elle se réddit ft U, as tft ; èh faisant ±=±iAï, elle se réduit à uw = Uj, ; en faisant x = 3Aar, elle se réduit à 11, = !*,; et ainsi de suite. La nature de l'expression consiste clone en ce qu'elle est formée des termes successifs tf„«(< u%9 Usi etc-> ayant pour coefficients des fonctions rationnelles et entières de là variable x, qui 6ht la propriété de se réduire à l'unité quand on donne à & la valeur correspondante au terme auquel appartient là fonction, et de se réduire à *ért> quand on donné à x Une valeur correspondante à tout rtotit terme.
Représentons en général par x0 , xx 9 i, , a, , etfc., les valeurs de x qui, substituées dans la fonction U, donnent respectivement tiojfe,,^,,!*,, etc. be quelque maniéré que crdlsseht ces valeurs de x, ôtt formera évidemment ufaé expression qui présentera la même ptopriété que la précédente, si l'on écrit:
1 (*i— *o)(*i— *i)(^i— ^(*i— JP*)
. (s — *0) (g — a?t) [x — a?J (jp — g()
» (**— g,) (g§— *t) (g,— xj (*,—*»)
+tt (g — *t) fo — Et) (* — *») (^ — «») * (xs— xj (x, +Xi) (xs— gj (gs— g4)
+etc
Cette formule peut servir à calculer facilement, au moyen d'un certain nombre de valeurs donfaées dé là fonction îi &>rresporidahtés à des valeurs détehniriées de x, une Valeur quelconque intermédiaire entre celles-ci. On Vérifie, d'ailleurs, qu'en supposant les vâleuré £0 , g, , xf, xz, etfc., croissant eh progression arithmétique, cette dernière formule teVtettt â la précédente.
559. Un des principaux usagés des méthodes d'interpolation consiste à établir des formules qui, étant déduites d'un certain nombre de résultats d'observation ou d'expérience, sont regardées cbhime exprimant, d'une manière approchée, la loi d'un phénomène. On doit remarquer que l'usage des formules de ce genre ne doit pas en général être étendu au delà des limites des résultats qui ont été obtenus. i5i l'on regarde les nombres donnés par l'observation cottirtie étant
tout à fait exacts, et si les formules cherchées doivent y satisfaire, on peut employer les procédés qui viennent d'être exposés. On peut aussi tâcher de satisfaire à ces nombres par d'autres expressions plus appropriées à la nature du phénomène. Mais le plus souvent les résultats numériques sont affectés d'erreurs, et il ne conviendrait pas de s'attacher à construire des formules qui s'accordassent exactement avec tous. On cherche alors à remplacer d'abord ces résultats par une suite régulière, ce qui peut se faire soit au moyen d'une construction graphique, soit en altérant les nombres de manière à rendre progressive la marche de leurs différences de divers ordres. Une semblable altération est toujours plus on moins arbitraire, et devrait être dirigée d'après des principes qui dépendent de la théorie des probabilités.
Approximation des quadratures.
560. Les calculs numériques qu'il est nécessaire d'effectuer pour les rectifications, les quadratures, les cubataHS, la détermination des centres de gravité., celle des centres d'inertie, etc., peuvent toujours être réduits à évaluer des intégrales définies telles que
Wf
u désignant une fonction de x, et a, 6 les limites de l'intégrale. Lorsque cette évaluation ne peut être effectuée directement, on emploie divers procédés d'approximation dont les pins remarquables consistent à déduire la valeur de l'intégrale àe la seule connaissance d'un certain nombre de valeurs de la fonction u.
Supposons toujours que la variable x varie par la différence constante &r , et reprenons l'expression de um du n° 554 ,
+hGb-»)(MS+--
D'après la notion sur laquelle sont fondés les procédés de l'interpolation, nous regardons cette formule comme pouvant représenter les valeurs de la fonction u, nonseulement quand on y donne à x les valeurs 0, kr, 2Ax, 3*x, etc. , mais pour une valeur quelconque de cette variable. En multipliant donc par cte, et intégrant entre les limites a et 6 , nous obtiendrons la valeur de l'intégrale pro-
L'expression précédente revient à
+[(ê)-'°te)'+KÉ)"-Kâ)*
+ ^Aa;Ji.2.3.4.5
+[(êM£),+ -te)'-- te)' t
+TO(H)'-u,B]n&
Multipliant par <to , $t intégrant depuis m 3=0 jusqu'à *= Ar, il viendra
/Ax r 4 4 4 4ft
<fe . « = A*[u,+ 1 1^- i A'u,+ ^ AH*,- ^ V»,
pour l'expression de la valeur de la première partie de l'intégrale proposée comprise entre les limites 0 et Ax. La mén* formule donnera les expressions des parties suivantes de cette intégrale ep écrivant u, > u, , ws , etc. , à la place de h. D'où Ton conclut évidemment
rnbx
j dx.u =
Aa;
M* + ux + Ut +.
+ -(Ati0 + aMi + Ant + + An..,;
— ^(AHlo+A'w, +**«,+ + A%^)
+ ^(A't/û+A|w1+A»tt14- + AHu-t)
— etc.
et en remarquant que
A«0 + Au, + A«t -h + *w»-i = «* — *»,
A1«0+A«Mi+àHit+ + Aittfl 1=Atim— Au,,
A»wQ+AH*1+A»ttl+ -f A'w^^AHin -A1»,,
etc.,
çn changera l'expression précédente en
— tse —
4s. tes
+ i^-àhg-jgg^-tftg + etc.
Au moyen de cette formule on peut calculer la valeur de l'intégrale J<te»v, entre des limites données, en partageant l'intervalle de ces limites en un nombre n de parties égales
chacune à àx, et déterminant les valeurs u%fui, utfu%,
t^ de la faction u, qui répondent aux points de division. Une première valeur approchée est donnée par le premier terme seul
**■( 2 wo + «i + H, + «s + + «*-i + 2 *")•
Les termes suivants sont la correction de cette valeur. Le résultat sera d'autant plus exact, que le nombre n étant plus grand , les différences qui composent les termes de correction sont plus petites.
561. La formule précédente ne pourrait être utilement employée qu'autant que les différences des ordres successifs décroîtraient très- rapidement. On peut en obtenir une autre qui donnera une approximation plus prompte. Reprenons l'expression de u» du numéro précédent, et après avoir multiplié par dx, intégrons depuis rr=0 jusqu'à ar=2to. 11 viendra
ou, en faisant attention que, Au,=«, — *,, *•*,=*, —
r dx.u=bx
pour l'expression d'une première partie de l'intégrale comprise entre les limites 0 et 2&r. En ajoutant les expressions analogues pour les parties suivantes comprises entre 2Xr et 4Aa?, 4àx et 6Ax, etc. , on aura donc, n étant un nombre pair,
dx.u — o
«o+Att1+2Mi+A»8+2«4-f-4«,+ +2iu-i+àiii-i+«m-
-^(Ai«0 + *i*î + *4«4 + + AHïM+iyi + AVJ
~ï£ô (AX+A«tit+AHi4 + +AHu^ + AHi^+A«*^)
•fetc.
La première ligne est le résultat que Ton obtient en concevant dans l'intervalle compris entre 0 et 2Ax, la courbe dont l'ordonnée est u, remplacée par un arc de parabole passant par les extrémités des trots ordonnées u9,unut;
et de même pour les autres intervalles. Les termes suivants sont la correction de cette même première valeur, qui est déjà très-approchée.
On peut remarquer que l'usage des formules précédentes exige la connaissance des valeurs t*»^, *,»+,, u^.,, etc., de la fonction u , qui sont placées au delà des limites de l'intégrale définie. Si la fonction u est donnée dans toute son étendue , cette circonstance n'entraîne aucune difficulté. Mais il n'en serait pas de même si, comme cela arrive quelquefois, cette fonction n'était donnée que dans les limites de l'intégrale définie. Nous observerons à cet égard que l'esprit des méthodes d'interpolation consiste alors à regarder la fonction proposée comme entièrement définie par les
valeurs particulières u^,ux,ut9 un. La différence de
Tordre le plus élevé que l'on puisse calculer au moyen de ces valeurs, est A„u0. On doit donc supposer cette différence constante, et déterminer en conséquence les termes qui entrent dans les formules dont il s'agit.
