XUI. LIGNES DE NIVEAU ET DE PLUS GRANDI FIENTE SUR UNS SURFACE

564. Nous concevons les points d'une surface rapportés à trois coordonnées rectangulaires x , y , z. Les abscisses x, y sont horizontales; l'ordonnées est verticale. La figure de la surface est donnée par l'équation

Admettons que les abscisses x,y reçoivent chacune des accroissements infiniment petits dx,dy; l'ordonnée » pren-

dm également un accroissement infiniment petit, représenté par

, dz . dz .

dz iz

-r-&>-r étant respectivement les coefficients différentiels de

la fonction /(*,>) , pris par rapport à * et à y, La valeur de dz dépend du rapport que Von a établi entre les variations arbitraires d& et 4y. 3i ce rapport est tel que d*=0, c'est-à-dire si Ton a

dz

**a , ** A a ai y. *9 **

on passera d'un point à un autre de la surface sans que l'ordonnée % change de valeur. L'équation précédente est donc l'équation différentielle de la projection sur le plan des xy de la ligne de niveau, passant par le point de la surface, dont les coordonnées sont représentées par x,y9x.

On obtient l'équation en termes finis de cette projection en attribuant à z, dans l'équation z = f(x,y), une valeur constante égale à l'ordonnée du point par lequel on veut faire passer la ligne de niveau.

563. En passant du point de la surface , dont les coordonnées sont x,y,z, au point dont les coordonnées sout x -f- dx, y + dy,z -f dz , on parcourt , dans le plan horizontal

des xy, un espace drl/l -f- (-^1 ; et on s'élève verticalement <to Pespaee dz. La pente de la ligne pareoufnemtU snrface, c*<*t-à-dire la différence do Dtoeti de ses ta*

points extrêmes, divisée par sa projection horizontale, est donc eiprimée par

dz . , dz . dz dz dy

dà^+Ty** dï + dydx ou —

La grandeur de cette pente variera avec le rapport arbi-

du traire -~. Si l'on Tout connaître la direction de la pins dx r

grande pente, on égalera à zéro la différentielle de l'ex-

dy pression précédente, prise par rapport à -j-y ce qui don-

nera

dz dz dz dy dy dy

ay-é&dï = ù> d0Ù di^ïïz

dx

pour l'équation différentielle de la projection horizontale de la ligne de plus grande pente. On voit que, pour un point quelconque de la surface, les projections horizontales des lignes de nivean et de plus grande pente qui se croisent en ce point, et par conséquent ces lignes elle-même», sont toujours perpendiculaires Tune sur l'autre, résultat dont il est aisé de s'assurer directement.

564. La considération des lignes de niveau et de plus grande pente s'applique à la représentation graphique de la surface de la terre, au tracé des routes et à la conduite des eaux. On reconnaît que cette surface présente des pente* alternatives en sens opposés, tur lesquelles s* trouvent des systèmes de lignes de pins grand* pente,

séparés par des lignes de moindre pente, désignés par les noms de faîtes et de thalwegs , qui sont autant d'asymptotes des lignes de plus grande pente ordinaires. Quand on parcourt une même ligne de niveau, les points où elle est coupée par les lignes de faites ou de thalwegs sont toujours ceux où la pente est un minimum. D existe des pointa remarquables où les lignes de faites et de thalwegs se croisent à angles droits, et dans lesquels h hauteur verticale de la surface est un maximum ou un minimum absolu ou relatif. Les derniers de ces points indiquent les lieux où l'on doit diriger le tracé des routes on des canaux lorsqu'il s'agit de franchir une chaîne de montagnes.