XLUI. DE LA COURBURE DES SURFACES

565. La courbure d'une courbe est définie quand on détermine le rayon du cercle oscillateur, c'est-à-dire du cercle qui a un contact du second ordre avec cette courbe. la courbure d'une surface est également définie en assignant le rayon du cercle osculateur de toutes les sections normales qui peuvent être faites en un point donné.

Si, suivant la normale en un point quelconque m d'une surface, on fait passer un plan , on obtiendra une courte qui sera une section normale de la surface. Prenons sur h normale, à partir du point m, une distance infiniment petite £; puis, par le point ainsi déterminé, menons un plan perpendiculaire à la normale; nous obtiendrons une courte que nous désignerons, avec M. Gh. Dupin, par le nom d'indicatrice, parce que la nature de cette courbe fait connaître, comme on le verra tout à l'heure, la figure de h surface près du point m. Si d'ailleurs nous représentons pur *

rare infiniment petit compris entre le point m et le point où la section normale rencontre l'indicatrice, et si nous appelons p le rayon de courbure de cette section normale, nous aurons

. = Parc.cos.(i-^=Py^,

et par conséquent

Ainsi les rayons de courbure de diverses sections normales sont proportionnels aux carrés des arcs * de ces sections, comptés du point m jusqu'à la rencontre de l'indicatrice, ou, si Ton veut, aux carrés des demi-diamètres de l'indicatrice, qui ne diffèrent des arcs qui leur correspondent, que d'une quantité infiniment petite du second ordre.

566. Cela posé, la situation du point m étant rapportée à trois axes rectangulaires par les coordonnées x,y,z, soit

* = fl*. y)

l'équation de la surface proposée. Représentons par £-{-«, 3f + £>* + ? tes coordonnées du point de rencontre de la section normale et de l'indicatrice; en sorte que les quantités « et 6 étant très-petites, on pourra négliger, dans la théorie actuelle, leurs puissances et leurs produits au delà du second ordre, par rapport aux puissances et aux produits d'un ordre inférieur. On aura, d'après la formule du n° 138,

dz , dze , ifd*z . , <Pz - , tPz» \

— aoo —

expression que nous écrirons ph» simplement

T = pz + (fi + - (rai1 -f 25«6 -f *6»),

en représentant pour abréger par p et g les coefficients

dz dz différentiels du premier ordre j- et — ; et par r,$,t les

d*% d'z drz coefficients différentiels du second ordre -7-:, - — r, --*

dx1 <Lrdy éf

On peut regarder a, 6, ^ comme des coordonnées comptées

à partir du point m sur des axes parallèles aux axes desx,

des y et des *. L'équation (6) , dans une étendue très-petite

autour de ce point, doit être regardée comme appartenant à

la surface proposée.

De plus, l'équation du plan tangent mené par le point m

à cette surface sera, d'après le n° 247,

7 = pa + <y€. (f)

On en conclut que le plan de l'indicatrice , mené parallèlement au plan tangent à la distance 0, mesurée suivant la

normale, ou à la distance S vV + 9f + *> mesurée suivant Taxe des z, aura pour équation

Y — 5 vV + q* + i = P» + q£ . . . >Ç

Enfin, si Ton élimine y entre les équations (6) et (d],le résultat de cette élimination, qui est

28 v/p* + <?* + 1 = raa -f 2sa6 + f6* ,. . . M sera évidemment l'équation de la projection de Kndfcatrior

sur le plan des «, 6. On voit que la distance $ est infiniment petite du second ordre lorsque les quantités « et € sont infiniment petites du premier ordre.