Nous avons d'ailleurs

ou, en mettant pour ? sa valeur donnée par l'équation (6), et ne conservant que les quantités du second ordre par rapport à a et 6,

Ainsi l'expression (a) du rayon de courbure devient, en mettant pour <r* cette valeur, et pour 28 la valeur qui se déduit de l'équation (e),

Y Vf -r«f "t * ra* + 2sa6 + *6* w;

Cette formule donnera le rayon de courbure d'une section

' a normale quelconque lorsqu'on aura fixé le rapport -, c'est-

à-dire la projection sur le plan des xy de la tangente menée au point m à cette section normale.

568. D'une section normale à une autre, le rayon de courbure varie proportionnellement aux carrés des demidiamètres de l'indicatrice. Cette ligne, dont la projection sur le plan des xy est donnée par l'équation (e) du second degré, est toujours disposée symétriquement par rapport au point m, et les valeurs maxima et minima du rayon de courbure correspondront évidemment à ses diamètres rectangulaires. Pour les déterminer de la manière la plus

simple, on remarquera qu'en différentiant les équations (A et (e) auxquelles les coordonnées des points de l'indicatrice doivent toujours satisfaire , on a

dy = pda. 4- qd& , 0 = (ra + styx + (sol + t€)dS.

De plus si p , et par conséquent <r, doivent être un ou un minimum, on a par l'équation (f)

0 = ad* + W6 4- y<fy ;

ou, à cause de la valeur précédente de dy , 0 = («4-PT)<k + (6 + <?T)<**.

Donc

ra + 56 5* + f6 a(ra 4- j6) 4- 6(5a 4- f€) "

Or, la dernière de ces trois quantités est précisément k second facteur de l'expression (g) du rayon de courbure p. Donc, si l'on représente par R la valeur maximum ou minimum de ce rayon, et si Ton fait pour abréger

on pourra écrire

« + PT -t 7-A±2L >a4-56 ei A-"5«4-r6f

ou bien

Z(sa4-fQ=W + (*+4i)C I

Nous en déduirons d'abord en éliminant Z ,

équation qui donne le rapport -, dont la valeur peut être mise sous la forme

ainsi qu'il est aisé de le vérifier.

Nous déduirons en second lieu des équations (A) , par l'élimination de a et 6,

(rt-**)ff— [(i + 9t)r— 2^5 + (i+p*)*]z + Pl + <ïi + 1 = 0;

d'où, en se rappelant que R^Zyp* + gM-T,

±VW+^J^^W+(i+i^W*--46^,+«l+i)(t*--/)} ■•••(*)

Les deux valeurs données par la formule (•) représentent les tangentes trigonométriques des angles formés avec l'axe des x par les projections sur le plan des xy des axes rectangulaires de l'indicatrice; ou des lignes d'intersection du plan tangent à la surface avec les plans normaux qui contiennent le plus grand et le plus petit rayon de courbure. Les deux valeurs données par la formule (k) appartiennent

à ces rayons mêmes, qui sont appelés généralement r*yon>

de courbure principaux.

Nous remarquerons que les formules (i) et (*) donnent toujours des valeurs réelles; car on a identiquement

(l+p»)« 1 [(t+qt)r—2pqs+(i+p*)l]*-b(pi+qt+ i)(rf +j«)| =

+U(Pi+q*+i)\pqr—{i+pt)9Y.

569. La valeur du rayon de courbure d'une section normale quelconque s'exprime très-simplement en fonction des deux rayons de courbure principaux. Concevons en effet les positions des plans coordonnés, changées de manière que W plan des xy devienne parallèle au plan tangent mené à la surface proposée au point m. On aura donc pour ce point p = 0, q = 0, et l'équation (e), appartenante l'indicatrice, se réduira à

23 = ra* + 2ja« + t&.

Si de plus les axes des x et des y étaient placés de manière à coïncider avec les axes rectangulaires de l'indicatrice, on voit par cette équation que l'on auiait * = 0. Ainsi, en faisant p=0, 9 = 0 et 5 = 0, on exprime les conditions nécessaires pour que les plans des xz et des yz coïncident avec les plans des sections normales auxquelles appartiennent les deux rayons de courbure principaux. Dans ce cas, l'expression {g) du rayon de courbure d'une section normale quelconque, se réduit à

oc» + 6»

et en représentant par <p l'angle formé par le plan de cette

— Î74 — section normale avec les plans des xz, elle prendra la forme

Nous remarquerons d'abord que cette expression donne

-=rcos.,9 + fsin.,9,

et que si l'on appelait p, le rayon de courbure appartenant à la section normale , dont le plan est perpendiculaire à celui de la section à laquelle appartient le rayon p, on aurait

— = rsin.1? + f cos.*?.

Pi Donc

p Pi

équation très-remarquable , d'où Ton conclut que la somme des inverses des rayons de courbure appartenant à deux sections normales quelconques rectangulaires est constante. Ainsi l'on a toujours

R et R, représentant les rayons de courbure principaux.

D'ailleurs, l'équation qui a donné, dans le n° 568, l'expression (A) des rayons de courbure principaux, indique que l'on a en général

rt — s* '