Si maintenant on fait successivement <p = 0 et ç

dans l'expression p = = — . . . « du numéro préoé-

^ r rcos.^-j-fsin.^ *^

dent, elle donnera

R=î et Rt = ;

pour les valeurs des rayons de courbure principaux apparie* nant respectivement aux sections normales qui coïncident avec les plans des xz et des yz. D'où il suit que l'expression de p , du n° 568, peut être remplacée par la suivante :

RR, âRRj

p~R1cos.»<p + RsIn.V p R + R,— (R— KJcos.V

On connaît ainsi la valeur du rayon de courbure d'une section normale quelconque en fonction des deux rayons de courbure principaux, et de l'angle <p formé par cette section normale avec celle qui contient le rayon R.

Il résulte de ce qui précède que deux surfaces qui se touchent en un point donné, si elles ont les mêmes rayons de courbure principaux, ont en ce point dans tous les sens un contact du second ordre, c'est-à-dire que toutes les sections normales faites dans ces deux surfaces ont respectivement des rayons de courbure égaux. On voit aussi que, dans une étendue infiniment petite autour d'un point quelconque m d'une surface, on peut concevoir cette surface comme pou-

vant être décrite de deux manières par la révolution d'un arc de cercle, savoirs 1° par la -révolution du plus grand cercle oscillateur tournant autour d'un axe tracé dans son plan perpendiculairement à la normale, et passant par le centre du plus petit cercle oscillateur; 2° par la révolution du plus petit cercle osculateur tournant autour d'un axe tracé dans son plan perpendiculairement à la normale , et passant par le centre du plus grand cercle osculateur. En effet, les deux surfaces ainsi décrites ont évidemment les denx mêmes rayons de courbure principaux que la surface proposée.

574. Considérons maintenant (fig. 55) une section faite obliquement dans la surface par un plan mené par la tangente mh de la section normale itmn', à laquelle appartient le rayon de courbure p. Soit omo' l'intersection de ce plan oblique avec la surface, et oo' l'intersection de ce même plan avec le plan de l'indicatrice. Désignons par w l'angle formé par la normale m f avec la perpendiculaire mg, menée dans te plan oblique à la tangente mh. Si Ton demande la valeur du rayon de courbure de la section oblique <mo', on remarquera que la différence des lignes nfet og, ou celle des arcs mnettno, est du même ordre que la distance mf, c'est-àdire infiniment petite par rapport à ces arcs eux-mêmes. On peut donc prendre mn pour la longueur de l'arc mo. Ainsi le rayon de courbure de la section oblique omo' étant, d'après le n°565,

ma*

on peut écrire , au lieu de cette expression,

^* RRt cos.fa>

^^pcoS.w^Rcosf?hRginfç,

2 Mi *C06.W