V ANNÉE
en
-j- appartenant à la projection horizontale de la courbe suidx
vant laquelle il faut se déplacer sur cette surface pour satisfaire à la condition que deux normales infiniment voisines soient comprises dans un même plan. Or cette équation est précisément celle qui donne les deux valeurs du rapport
- auxquelles correspondent les rayons de courbure principaux. On reconnaît d'ailleurs immédiatement que les deux
dy valeurs de -j*- données par cette équation appartiennent respectivement à deux lignes qui se coupent à angle droit, lorsqu'on suppose, comme dans le n° 569, la position des plans coordonnés changée de manière que le [dan des 2} devienne parallèle au plan qui touche la surface au point m. On a alors p = Q,q=0, et l'équation précédente se réduit à
ao+£?®-—
les deux racines donneraient donc les tangentes trigonométriques de deux angles suppléments l'un de l'autre, c'est-àdire que les directions des courbes auxquelles elles appartiendraient seraient perpendiculaires entre elles.
Si Ton élimine maintenant -~- entre les deux équations qui
ont été trouvées ci-dessus, on aura
Cette équation, réunie aux deux équations de la normal?, donnera les coordonnées oc'>]/,» du point de rencontre des
deux normales consécutives , c'est-à-dire du centre de courbure. Comme die est du second degré , chacune de ces coordonnées aura en général deux valeurs, en sorte qu'il y aura sur la même normale deux centres de courbure appartenant respectivement aux sections rectangulaires déterminées par l'équation précédente. Quant à la grandeur du rayon de courbure, si on la désigne comme ci-dessus par R, on a évidemment
L'équation que l'on vient d'obtenir s'accorde donc avec celle qui a été trouvée n° 568, et dont on a déduit l'expression (*) des rayons de courbure principaux de la surface.
573. On voit, par ce qui précède, qu'après s'être placé en un point quelconque d'une surface donnée , on peut passer de ce point à un point voisin suivant deux directions qui forment entre elles un angle droit, avec la condition que les normales menées à la surface par les deux points seront comprises dans le même plan et se rencontreront Après s'être ainsi transporté dans un second point on peut passer k un troisième, puis à un quatrième, et ainsi de suite, en s'assiyettissant toujours à la même condition. On tracera de cette manière sur la surface une ligne continue , que l'on a nommée ligne de courbure, et dont la considération est importante. 11 existe ainsi, pour chaque point d'une surface, deux lignes de courbure, qui se coupent à angle droit dans ce point. En concevant toutes ces lignes tracées sur la surface , on voit qu'elles la divisent en deux systèmes de zones, dont le croisement forme des figures rectangulaires. Les deux lignes de courbure qui se coupent
en chaque point, correspondent ftuic sections normales de plus grande et de plus petite cdtirbure, c'est-à-dire aux section* nofthateê principales.
L'équation
qui a été obtenue précédemment, est l'équation diffêreri-
tielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des
dy xy. Comme elle est du second degré par rapport à ^-, son
intégrale contiendra une constante arbitraire élevée au quanv; et si Ton veut déterminer cette constante de manière à faire passer la ligne de coubure par un point donné de la surface , on trouvera deux valeurs qui appartiendront respectivement aux lignes de courbure de chaque système.
En éliminant r et t au moyen des relations dp==nfar+rij» dq=sdx-\-tdy , et en se rappelant que dz=pdx-\- qdy, celle équation prend la formé
dfKdy + qdz) == dq{da + pàt)
qui doit être remarquée.
574. L'examen des diverses figures que peut affecter la courbe appelée indicatrice est très-propre à faire juger des modifications que présente la courbure des surfaces. L'équation (b) du n° 566, dans laquelle on n'a conservé que les termes du second ordre en « et 5,
T = p* + 96 + |(r«* + &a6 + tf1),
appartient à une surface du second degré; d'où l'ôft conclut
qu'une telle surface peut en général avoir dans toutes les directions autour d'un point quelconque une osculation du second ordre avec la surface proposée. La surface proposée et la surface du second degré osculatrice doivent être regardées comme se confondant Tune avec l'autre dans une étendue infiniment petite autour du point m, et l'indicatrice comme appartenant à Tune et à l'autre. L'équation (e) de la projection de l'indicatrice sur un plan parallèle au plan des xy a été donnée n° 566 : nous l'écrirons simplement
D = ra* + 25«6 + (6* >
en faisant pour abréger D=2&vV + 9* + * > cette équation résolue par rapport à 6 donne
- — sot ± i/Df — (rt — s*)o*
575. Si la fonction rt — s* est positive, l'indicatrice est une ellipse, et la surface osculatrice du second degré est un ellipsoïde. Tous les diamètres de l'ellipse étant réels, les quarrésde ces diamètres, auxquelles rayons de courbure des sections normales sont proportionnels, sont tous positifs. Toutes les sections normales ont leurs courbures tournées dans le môme sens. Le même résultat se conclut de l'expression (k) du n° 568.
576. Si la fonction rt— s* est négative, l'indicatrice est une hyperbole, et la surface osculatrice du second degré est un hyperboloïde. Les diamètres de l'indicatrice, ayant leurs quarrés positifs, tandis que les diamètres imaginaires ont leurs quarrés négatifs, les deux courbures principales de la surface sont tournées en sens contraires; et en
— iHO —
général , parmi les diverses sections normales , les unes ont leur courbure tournée dans un sens, les autres dans le sens opposé. Les asymptotes de Fhyperbole, dans la direction desquelles la courbure est nulle, séparent les sections normales qui ont respectivement leur courbure tournée dans un sens ou dans l'autre.
On obtiendra la direction de ces asymptotes en égabnt à zéro le dénominateur de l'expression (g) du n° 567, ce qui donne
Ainsi l'équation différentielle
appartient à la projection sur le plan des xy des courbes tracées sur la surface proposée dans le sens desquelles la courbure est nulle, ou le rayon de courbure infini. L'équation différentielle
dz = pdx + qdy
appartient également au plan tangent à la surface au point m , et à la surface elle-même; on en déduit
d*z = dp.dx + dq.dy, ou d*z = rdx* -f Isdydx + tdyï.
Mais on a pour le plan tangent d*z=Q : donc en écrivant
rdx* + îsdydx + tdy* = 0 ,
on établit entre dx et dy une relation qui appartient à 1* Kgne d'intersection de la surface proposée et de son piao
tangent Ainsi dans les surfaces du genre de celles dont il s'agit, c'est-à-dire lorsque les deux courbures principales sont dirigées en sens contraires , la surface est coupée par son plan tangent suivant deux lignes dont les directions coïncident avec les asymptotes de l'indicatrice.
L'angle compris éhtre ces asymptotes peut fairç juger du rapport des deux courbures. En effet, le rapport des deux axes de l'hyperbole étant exprimé par la tangente trigonométrique de cet angle, le rapport des rayons de courbure principaux le sera par le carré de -cette tangente trigonométrique.
577. Si la fonction rt — «' a une valeur nulle, l'expression de 6 du n* 574 se réduit à
- — sa ± Jvi
et représente le système de deux lignes droites, formant avec l'axe des x un angle dont la tangente trigonométrique
est — . L'indicatrice est donc formée ici de deux lignes
droites parallèles, et la surface osculatrice du second degré est une surface cylindrique. Tous les diamètres de l'indicatrice étant réels, la surface a toutes ses courbures dirigées dans le même sens; mais la courbure est nulle dans le sens des lignes droites dont il s'agit. En effet, en supposant ri — «*=0 dans l'expression (k) du n° 568, qui donne les valeurs des rayons de courbure principaux, on voit que l'une des racines de cette équation est alors finie, l'autre infinie, et qu'elles sont de même signe. La propriété d'avoir un contact du second ordre avec une surface cylindrique, appartient aux surfaces appelées développables, et les
caractérise. L'équation aux différences partielles du second ordre
rt — s* = 0 ,
qui exprime cette propriété, convient à toutes les surfaces de ce genre.
578. Les deux valeurs de R données par l'expression [kj du n° 568 seront égales et de même signe si l'on a
1(1 -f q*)r — 2pqs 4- (1 4- p1)*]1 — «1 4- p* 4- q*){rt — 5») = *.
Cette dernière équation exprime donc la condition nécessaire pour que les deijx rayons de courbure principaux soient égaux entre eux et dirigés dans le même sens. L'expression de p du n* 570 montre que dans ce cas les rayons de courbure de toutes les sections normales sont égaux entre eux. Les points d'une surface où cette circonstance se présente , et dans lesquels l'indicatrice est un cercle, sont ordinairement très-remarquables.: on leur a donné le nom d'ombilics. 11 importe d'observer que d'après la remarque qui a été faite à la fin du n° 568, l'équation précédente ne peut pas subsister , à moins que Ton n'ait séparément les deux équations
(i + tf)r-(l + |*)« = 0, (i+p!>-pgr = Ot
lesquelles entraînent la suivante
(l+q*]s~ pqt = 0.
On peut se convaincre d'ailleurs que l'égalité des deux rayon*
de courbure principaux entraine toujours l'existence de la double équation
en remarquant que la formule du n* 570 prouvant que les rayons de courbure de toutes les sections normales sont alors égaux entre eux, il est nécessaire que le rapport
- disparaisse dans l'expression (g) du n° 567, ce qui ne
pourrait atoir lieu tA cette double équation n'existait point. Cette double équation rendant identique l'éqtiatiôft du
n° 568 dont dépend l'expression de -, ou (ce qui est la
même chose), Féquation du n° 572, dont dépend Pexpres-
dy don de -~ qui convient aux directions des lignes de courdx
bure principales, on ne peut plus rien conclure relativement
à ces directions. Il existe des ombilics où il ne passe qu'une
seule ligne de courbure principale, d'autres où iL en passe
un nombre fini plus grand que deux, d'autres enfin où
un nombre infini de lignes de courbure se croisent dans
toutes les directions. Les sommets ou pôles des surfaces
de révolution sont dans ce dernier cas. La distinction des
divers cas qui se présentent peut se déduire de l'équation
même
dont il s'agit, en la différentiant successivement par rap-
dy port à x et y, -r^ étant regardé comme constant. On obdx
tient ainsi des équations du troisième, du quatrième, etc.,
degré par rapport à -j^ , qui donneront les valeurs propres
à mettre en évidence les véritables directions des lignes de courbure.
La surface sphérique est la seule pour tous les points de laquelle on ait la relation
579. Les deux valeurs de R données par la formule (k) du n* 568, seront égales et de signes contraires si l'on a
(i + <flr — 2pqs + (1 + ffi)t =r0.
Dans ce cas les deux courbures principales sont égales ei dirigées en sens opposés. L'indicatrice est une hyperbole équilatère. Les sections normales, placées symétriquement par rapport aux axes ou aux asymptotes de cette hyperbole, présentent des courbures égales entre elles. Les lignes dans le sens desquelles la courbure est nulle, se croisent à angle droit comme les lignes de courbure principales. L'équation précédente ne diffère point d'ailleurs de celle qui a été trouvée n° 517, pour l'expression de la condition que l'aire de la surface comprise dans un contour quelconque soit un minimum. Ainsi les surfaces qui satisfont à cette condition ont la propriété d'avoir dans tous leurs points leurs deux rayons de courbure principaux égaux et dirigés en sens contraires, proposition digne de remarque.
De la surface lieu des centres de courbure.
580. Un point m étant pris sur une surface donnée, concevons les deux lignes de courbure qui se croisent en ce point, et le plan normal qui est dirigé dans le sens de Tune des lignes de courbure. Si Ton admet que ce plan se meut dans l'espace sans cesser d'être normal à la surface proposée, et tangent à la ligne de courbure dont il s'agit, l'espace qu'il décrira aura pour enveloppe une surface développable, coupant à angle droit la surface proposée. Cette surface développable sera le lieu de toutes les normales à la surface proposée, menées par la ligne de courbure, et ces normales en seront les caractéristiques. Les intersections des normales consécutives traceront sur la surface développable une de ces lignes remarquables que l'on a désignées sous le nom A'arêtes de rebroussement. L'arête de rebroussement sera le lieu des centres de courbure correspondants aux différents points de la ligne de courbure qui a servi de directrice au mouvement du plan normal.
En concevant également le plan normal à la surface au point m, qui est dirigé dans le sens de la seconde ligne de courbure, et admettant de même que ce plan se meut sans cesser d'être normal à la surface et tangent à cette ligne, on obtiendra une autre surface développable qui sera le lieu des normales à la surface proposée, menées par les points de la seconde ligne de courbure, et dont l'arête de rebroussement sera le lieu des centres de courbure correspondants à ces points. '
On peut se représenter construites dans l'espace toutes les surfaces développables appartenant au premier système de lignes de courbure de la surface proposée, et toutesles sur-
faces développables appartenant au second système de ces lignes de courbure. Les surfaces développables du premier système couperont partout à angle droit celles du second. Les deux systèmes de surfaces dont il s'agit, partageront l'espace en parties rectangulaires d'une longueur infinie, dans le sens des normales à la surface proposée. La suite des arêtes de rebroussement des surfaces développables appartenant au premier système formera elle-même une autre surface, sur laquelle se trouveront tous les centres de Tune des courbures. La suite des arrêtes de rebroussement des surfaces développables appartenant au second système des lignes de courbure formera également une seconde surface, qui sera le lieu de tous les centres de l'autre courbure. Les surfaces lieu des centres de courbure sont, par rapport à la surface proposée, ce que la développée d'une courbe plane est par rapport à cette courbe.
581. Les équations des surfaces dont ou vient de parler | peuvent être obtenues comme il suit. Heprenons les équation* | de la normale du n° 572 ; |
et les suivantes |
(rf^i«X«- «y+Ki^Jr— a^+fi+^K*-^ s'm+J»1*^*,
qui en ont été déduites. L'équation (2) aux différences ordinaires entre les variables x ely appartient aux projections sur le plan des xy des lignes de courbure de la surface proposée. Cette équation du premier ordre et du second degré par rap-
port au coefficient -~ étant intégrée, son intégrale sera cornax
plétée par une constante arbitraire qui s'y trouvera élevée m second degré. En déterminant donc cette constante de manière à faire passer une ligne de courbure par un point donné, on trouvera deux valeurs, correspondant respectivement aux deux lignes de courbure qui se croisent dans tous les points de la surface. Indiquons pour abréger par (2') l'intégrale générale de l'équation (2) dont il s'agit. Il est visible qu'en éliminant x, y, z entre l'équation de la surface proposée, les équations (1) et l'équation (2% l'équation restante en x'% y', z', appartiendra aux surfaces développables normales qui coupent la surface suivant ses lignes de courbure. Elle donnera l'une quelconque de ces surfaces développables en y déterminant convenablement la constante arbitraire qui s'y trouve contenue.
582. L'équation (3) est une équation primitive en œ, y, z} et z\ Elle doit donner la valeur de z', appartenant au point d'intersection de deux normales consécutives, c'est-à-dire au centre de courbure. En éliminant x, y, z entre l'équation de la surface proposée, les équations (1) et l'équation (3), on aura donc en x',y et z' l'équation de la surface lieu des centres de courbure. Cette équation montera au second degré par rapport à z'. Si elle peut se décomposer en deux facteurs, on obtiendra, en les égalant séparément à zéro, les équations distinctes de deux surfaces qui contiendront respectivement les centres de l'une et de l'autre courbure de la surface proposée. Si cette décomposition n'a pas lieu, les centres des deux courbures se trouveront placés sur deux nappes appartenant à une surface unique.
Une normale quelconque à la surface proposée touche à la fois les deux nappes qui contiennent respectivement les centres
de l'une et de l'autre courbure, et si l'on mène par cette normale deux plans tangents à ces deux nappes, ces plusse couperont à angle droit. Donc les deux nappes de la surface lieu des centres de courbure sont toujours telles, qu'étant regardées d'un point quelconque, leurs contours apparents paraissent se croiser à angles droits. Ainsi une surface quelconque n'est pas propre à devenir le lieu des centres de courbure d'une autre surface; on peut prendre arbitrairement le lieu des centres de l'une des courbures; mais la surface qui contiendrait les centres de l'autre courbure doit être telle que son contour apparent paraisse toujours couper celui de la première à angle droit.
583. Lorsque la surface qui contient les centres de l'une des courbures coupe la surface qui contient les centres de l'autre courbure, les points d'intersection appartenant également à l'une et à l'autre courbure, répondent aux points de la surface proposée, pour lesquels les deux rayons de courbure principaux sont égaux entre eux, points qui sont déterminés par l'équation
[(i +V)r-2W + (1 + pty]«--4(t +p* + <f)(rt—*) = ;
comme on l'a vu n* 578. Cette équation donne la projectioo sur le plan des xy de la ligne des courbures sphériques sur la surface proposée.
584. Chacune des arêtes de rebroussement des surface* développables normales, dont la réunion forme les deux nappes de la surface lieu des centres de courbure, est une ligne de plus courte distance sur cette dernière surface. En effet, le plan passant par deux normales consécutives, appartenant à l'une de ces surfaces développables normales, est en même temps le plan osculatetir de l'arête de rebroussement au
point d'intersection de ces deux normales, et perpendiculaire au même point à la nappe de la surface lieu des centres de courbure, sur laquelle cette arête de rebroussement est placée. Or le caractère de la ligne de plus courte distance sur une surface quelconque consiste en ce que le plan osculateur de cette ligne soit en même temps normal à la surface.
Concevons un fil dont une extrémité est fixée çur un point de la ligne d'intersection des deux nappes qui contiennent respectivement les centres de Tune et l'autre courbure. En tendant ce fil, et le faisant mouvoir de manière qu'il soit en partie plié sur cette intersection, et que la portion libre soit dirigée dans le sens de la tangente, l'extrémité opposée décrira la ligne des courbures sphériques sur la surface proposée. Si l'on fait ensuite mouvoir le même fil de manière qu'il soit en partie plié sur l'intersection des deux nappes dont on vient de parler, et en partie sur Tune ou sur l'autre de ces nappes, l'extrémité pourra se transporter dans tous les points de la surface proposée, qui peut ainsi être décrite de deux manières différentes par le mouvement d'un fil plié sur la surface lieu des centres de courbure, comme l'est une courbe par le mouvement d'un fil plié sur sa développée.
Exemple de la détermination des lignes de courbure et des rayons de courbure^
