Soit

l'équation de la surface proposée. Cette surface est un paraboloïde dont Taxe des * est l'axe principal. Les sections faites

parallèlement au plan des œy sont des ellipses ayant leurs axes dirigés dans le sens des x et dans le sens des y. la longueur des demi-axes de ces sections dans le sens d» * est ^Sfl*, et la longueur des demi-axes dans le sens des y est \/îbx. Nous supposerons ici a > b.

Nous aurons

dz __ y cfe

dy~~q-bf dxdp-'-"'

dte 1

et ces valeurs étant substituées dans l'équation des lignes de courbure

qui a été trouvée n° 572, il viendra

-»99M(*+Ri-('+s)aï * a-*

Cette équation, en posant pour abréger

A = jf B = a(a — 6),

s'écrira

elle appartient à la projection des lignes de courbure de b surface proposée sur le plan des xy.

Pour l'intégrer, on la différentiel* d'abord, ce qui don* nera

puis on éliminera B entre cette équation du second ordre et Téquation (m). La constante A disparaîtra également du résultat de l'élimination, et l'on trouvera

*[«§HS)']-'âH-

dx Cette dernière équation étant multipliée par le facteur —

devient

y dy dont le premier membre est la différentielle exacte de — -j-. r x dx

On a donc, en intégrant une première fois,

et en intégrant une seconde fois

a et 6 étant deux constantes.

L'équation y* =cur2 + 6 est l'intégrale générale de Téquation (m). Mais comme cette dernière n'est que du premier ordre, son intégrale ne doit contenir qu'une seule constante

arbitraire. L'une des constantes «, 6, est déterminée par la condition qne l'équation y* = ox' -(- 6 satisfasse à l'équation (m). En substituant donc dans l'équation les valeurs

on trouve pour condition

d'où

6 = -* c'est-à-dire' 6 = *£=£.

Aa -f 1 aa -h 6

L'équation sous forme finie des lignes de courbure est par conséquent

« , , ab(a — b)a , .

dans laquelle a est la constante arbitraire.

586. Si Ton veut déterminer la constante a de manière que l'équation (n) appartienne à une ligne de courbure, passant par un point donné de la surface proposée dont les abscisses seraient af et y% on fera x = af, y = y' dans cette équation , et on la résoudra par rapport à a, ce qui donnera

en posant

e = 6** — ay* + ab(a — 6).

Ainsi l'on trouvera toujours, pour la constante a, deux n-

leurs réelles, l'une positive et l'autre négative; et ces valeurs étant substituées dans l'équation (n) donneront respectivement les équations des projections des deux lignes de courbure qui se croisent dans le point auquel appartiennent les abscisses af , yf.

La valeur positive de * donnera, pour les projections du premier système des lignes de courbure , des hyperboles, ayant leur axe réel dirigé dans le sens de Taxe des y, dont les équations seront

9 aa + b

La grandeur du demi-axe est i/ — . La plus petite

valeur que puisse prendre ce demi-axe estO, ce qui répond aux cas où l'on supposerait x' très-grande et y' très-petite : les deux branches de l'hyperbole se confondent alors avec Taxe des x» La plus grande valeur que puisse prendre ce demi-axe est ^b(a — 6), ce qui répond au cas où la valeur positive de « serait infinie, parce que l'on aurait supposé x' très-petite et %/ très-grande. L'hyperbole s'écarterait alors très-peu de l'axe des y. Si l'on porte donc sur l'axe des y de part et d'autre de l'origine une distance égale à *Jb(a — 6), on aura deux points , au delà desquels les sommets des hyperboles qui donnent le premier système des lignes de courbure ne pourront pas être placés.

La valeur négative de a donnera pour les projections du second système de courbure , des ellipses ayant leurs axes rectangulaires dirigés dans le sens de Taxe des x et de l'axe des y, et dont les équations seront

, , , ab(a — b)<x

La grandeur du demi-axe, placé dans le sens de Taxe des j,

— ~, et la grandeur du demi -axe, placé tas

le sens de Taxe des y, est W — j— , en sorte que le

rapport de ces deux axes est égal à sfï. En supposant j extrêmement grande, la valeur négative de « est à fort peu

près égale à -, ce qui est la plus petite valeur absolue que

Ton puisse attribuer à cette quantité. À mesure que x' diminue, la valeur absolue de a augmente, pourvu que la quantité c demeure positive, et, cette condition étant satisfaite, a deviendra infiniment grande quand x' sera supposée infiniment petite. Alors Taxe de l'ellipse, placé dans le sens dex x, sera infiniment petit, et la moitié de Taxe, placé dans le sens des y, sera égale à ^6(a— 6). 11 n'est pas possible , d'ailleurs, de supposer à la fois x' assez petite et y' assez grande pour q\ie la quantité c devenant négative, la valeur de « puisse devenir aussi petite qu'on le voudrait; car l'équation des lignes de courbure ne donne que des valeurs imaginaires quand « étant supposée négative, on attribue à

cette constante une valeur absolue moindre que -. On voit

que les points placés sur Taxe des y, à la distance vW«— *» de l'origine, forment ici une limite commune que les sommets des deux systèmes de lignes de courbure ne peuvent dépasser dans un sens ou dans l'autre.

Les axes des x et des y sont au nombre des lignes qui appartiennent aux projections des deux systèmes de lignes de courbure du paraboloïde.