L'équation générale de la projection de l'indicatrice

devient ici

D = ra» + Vsab + <*

cette projection appartient toujours à une ellipse, ainsi que le comporte la nature de la surface proposée, dont les deux courbures sont dans toute son étendue dirigées dans le même sens.

Quant à la relation

qui, d'après le n° 578, doit subsister dans les ombilics, c'est-à-dire dans les points où tous les rayons de courbure sont égaux , elle devient

q* -f x* __ xy __ 6*4- y* ~H~ ~"0~~ b '

Cette relation ne peut être satisfaite qu'en supposant x = o et y= ^b(a — b), c'est-à-dire pour les points de la surface qui séparent les sommets des ellipses et des hyperboles appartenant respectivement aux deux systèmes de lignes de courbure. Les deux points dont il s'agit sont les seuls ombilics que la surface proposée puisse présenter. L'indicatrice y doit être circulaire; en effet, le plan tangent est en ces deux points parallèle aux deux systèmes de plans qui coupent le paraboloïde suivant des cercles.

588. À l'égard des valeurs des rayons de courbure principaux, on trouvera, en substituant les expressions des coefficients différentiels p, q, r, #, t qui ont été données n° 585

296 — dans l'expression (*) du n* 568 :

«-JVTÏ^I^*^

589. Lorsqu'il s'agira d'un paraboloïde de révolution, les deux quantités désignées par a et 6 seront égales entre elles. L'expression de « du n° 586 se réduira à

ar*—

ou bien

MÇ&'+s-

i/'1 La valeur positive de a est donc pj. L'équation des projections hyperboliques du premier système des lignes de courbure se réduit à

et appartient au système de deux lignes droites qui se croisât à l'origine des coordonnées.

Quant à la valeur négative de a , elle est — 1. Ainsi l'équation des projections elliptiques du second système des ligne* de courbure devient

if =— xt + z» ou ^"t"*1^»

qui appartient à un cercle dont le centre est placé a l'origine

des coordonnées, et dont on peut fixer arbitrairement le rayon. En effet, les lignes de courbure, dans une surface de révolution, sont évidemment dirigées dans le sens des méridiens et des parallèles.

La distance de l'ombilic au centre, exprimée ci-dessus

par ^b{a — 6), devient nulle : les deux ombilics se confondent en un seul qui est le sommet de la surface de révolution.

En faisant a=b, dans l'expression de R du n° 588, elle se réduit à

Les deux rayons de courbure principaux dans le paraboloïde de révolution sont donc respectivement exprimés par

-fa' + ;,+ y,)* et -(«. + *w.

Comme l'équation de la parabole dont la révolution autour de Taxe des x décrit cette surface est

on voit que la première expression donne le rayon de courbure du méridien, et que la seconde donne le rayon de la courbure dans le sens du parallèle. Cette dernière expression représente la valeur de la normale de la courbe méridienne; ce qui doit être, puisque toutes les sections faites dans le sens des parallèles ont leur centre de courbure placé sur Taxe de la surface de la révolution.

XL1V. Des surfaces usa plus simples dont l'bqcatu» ui