DIFFÉRENCES PARTIELLES EST DC PREMIER ORDRE

590. Revenons aux notions présentées dans les n" 472 et suivants. Une surface quelconque peut en général être considérée comme l'enveloppe de l'espace parcouru par une autre surface qui se déplace sans changer de figure suivant une loi donnée, ou qui se déplace en changeant à la fois de position et de figure suivant des lois également données. Nous représentons généralement l'équation de l'enveloppée, exprimée en quantités finies, par

F(a?,y,*,a,6,TfÔ, ) = 0,

dans laquelle x,y,z désignent les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de cette surface; et a,6,«r,8,

plusieurs constantes arbitraires, dont les valeurs varient suivant les diverses positions ou les diverses figures que l'enveloppée peut affecter. Mais si Ton veut considérer la surface qui enveloppe une série déterminée des positions de l'enveloppée, afin d'en rechercher les propriétés, on ne peut plus regarder dans 1 équation précédente les quantités a, 6, y, S, comme tout à fait arbitraires et indépendantes les unes des autres. On doit concevoir que ces quantités sont liées par des relations qui distinguent la série des positions dont il s'agit. Par conséquent , laissant indéterminé un seul paramètre a, on regardera toutes les autres

arbitraires 6, y, 8, comme des fonctions données ç(*i.

<|/(<x),ty(a), de ce paramètre, et l'on écrira au Heu de

l'équation précédente pour représenter l'enveloppée

?\x9y,Z, ?(*), <Ka), <r(«),....} =0.

En donnant dans cette équation à a toutes les valeurs possibles depuis — oo jusqu'à + 00, on aura une certaine série d'enveloppées, déterminée par la forme des fonctions ?,<]/, «r, ....; et si ces fonctions demeurent arbitraires, les résultats que l'on obtiendra seront généraux et conviendront à toutes les surfaces possibles qui peuvent être produites par le mouvement d'une enveloppée quelconque comprise dans l'équation F (a:,y,s,a, p, 6,^,8, )=0.

591. En différentiant successivement par rapport aux variables indépendantes œ,y l'équation F =0, on a deux nouvelles équations appartenant à l'enveloppée et à l'enveloppe, au moyen desquelles on peut éliminer deux des constantes a, 6, y, Par conséquent, si l'équation F=0 ne

contient que deux de ces constantes , il reste une équation aux différences partielles du premier ordre entièrement délivrée des constantes arbitraires, qui d'après cela appartient • à toutes les enveloppées comprises dans l'équation F = 0 aussi bien qu'à toutes les enveloppes que ces enveloppées peuvent produire, et qui exprime un caractère géométrique qui leur convient spécialement et les distingue de toutes les autres surfaces.

Si l'équation F = 0 de l'enveloppée contenait trois constantes arbitraires <*,&,i, les équations différentielles du premier ordre ne suffiraient pas en général pour les éliminer : il faudrait passer aux équations du second ordre; et Ton se trouverait conduit à des équations aux différences partielles d'un ordre supérieur et très-élevé, si le nombre des constantes a, P, r* devenait très-grand.

Nous nous occupons surtout ici des cas où l'équation aux différences partielles obtenue est du premier ordre, mais sans négliger ce qu'il peut y avoir de général dans le* considérations que nous exposons.