V. DIFFKRENTIAT10N DBS FONCTIONS IMPLICITES

44. Une fonction est appelée explicite lorsque son expression analytique est donnée au moyen des quantités constantes et variables dont dépend sa valeur. Ainsi Ton dit que la fonction x des deux variables ar, y est explicite , ou que cette fonction est donnée explicitement , si Ton a l'équation

z = f(xfy).

Mais si la fonction x est engagée avec les variables x, y dans

une équation telle que

F(x,y,*) = of

qui n'est point résolue par rapport à x , cette fonction est alors appelée implicite, et Ton dit que sa valeur est donnée implicitement ; on entend par cette expression que la valeur de la fonction z , quoique déterminée quand on a fixé celle des variables x et y, n'est point représentée par une expression analytique formée de ces variables. On peut différentier les fonctions implicites aussi facilement que les autres, c'està-dire obtenir l'expression de la différentielle de la fonction sans résoudre l'équation dans laquelle elle est engagée.

Revenons aux notions qui ont été présentées dans le n° 2. La nature de chaque question détermine toujours le nombre des variables , aussi bien que les relations qui existent entre elles, et qui sont exprimées par des équations. Le nombre des variables étant m , et le nombre des équations étant n,m — n des variables sont indépendantes ; les n autres variables sont fonctions des premières. On a distingué celles des variables qui sont regardées comme indépendantes , et celles qui en sont des fonctions; et cette distinction subsiste dans tout le cours de l'opération sans aucun changement.

Cela posé, considérons d'abord le cas simple d'une seule variable indépendante x et de la fonction y, entre lesquelles û existe l'équation

Cette équation devant subsister, quelle que soit la valeur attribuée à x , on aura évidemment

f{x + Ax, y + *y) = 0 f eo désignant toujours par 4y la variation de la fonction y ,

correspondant à l'accroissemeut àx attribué à x. On aura

donc aussi

f{x + As, y ± Ay) — f(x, y) A 55 -°'

équation qui subsistera , quelle que soit Aa? , et , par conséquent , qui aura lieu pour la limite vers laquelle tend le premier membre , lorsque Aa? tend à devenir égale à zéro. Or, cette limite n'est autre chose que le coefficient différentiel

d ftx y)

'f\ "' du premier membre de l'équation proposée, dont dx

l'expression est ici , d'après le n° 26 et en remarquant que y est fonction de la variable indépendante x, dipzl \ di .-r=% On a donc l'équation

d.f{x,y) . d.f{x,y) dy Q dx dy dx '

que l'on écrit souvent pour abréger

df.df dy di* dy d*~Uf

en indiquant seulement par la lettre f la fonction proposée f[x,y), et dont on déduit

dy __ dx

dx" df dy

pour l'expression du coefficient différentiel ou de la fonction dérivée de y.

Nous remarquerons d'ailleurs que ce coefficient diffé-

rentiel se trouvera exprimé au moyen des deux variables

a? et y.

La quantité -r + -r -r- n'est autre chose que la différends dy dx M

tielle de la fonction f, où l'on a supprimé le facteur constant dx. Cette différentielle est égale à zéro, et il est évident, en effet, que l'équation f(x,y) = 0 devant subsister pour une valeur quelconque de x, l'expression d'une variation finie ou infiniment petite que subit la fonction f(xyy)9 par l'effet d'un accroissement fini ou infiniment petit attribué à x, doit être nulle. En général , l'équation f=0 , /'désignant une fonction quelconque de plusieurs variables, entraîne toujours l'équation d/=0, en désignant par df\a différientielle de la fonction f, qui peut être totale ou partielle.

45. Considérons maintenant le cas général où l'on aurait plusieurs fonctions et plusieurs variables indépendantes Soient, par exemple, les deux équations

f(vt x, y,z) = 0 F(i>, x, y, z) = 0 ,

dans lesquelles v et x soient des variables indépendantes , y et x des fonctions de v et x9 données implicitement par ces équations. Les différentielles des deux fonctions f et F devant être nulles d'après ce qui vient d'être dit, on aura en les prenant conformément aux règles exposées dans les articles précédents , et se rappelant que y et z sont fonctions de *et x,

M, df dy df dz\ (df df dy df dz\ \<h>+dy dï+dz Tv)dv + \dï + dï S + dz dx)"*-0

(dF rfF dy , dF dz\ (dF dF dy ^dF dz\.

Dans chacune de ces équations, Ton peut supposer séparément dt?=rO, ou dx=0. Elles équivalent donc à quatre équations distinctes qui déterminent les valeurs des quatre

dy du dz dz coefficients différentiels partiels -j-, —, —, — . Ces coefti- 1 dv dx dv dx

cients différentiels se trouvent exprimés au moyen des quatre variables t>, x, y, z.

Les valeurs des coefficients différentiels partiels des fonctions y et z étant ainsi obtenues , on formera les différentielles totales de ces fonctions, en substituant les valeurs dont il s'agit dans les expressions générales

dy = $.dv+%Ldx, * dv ^ dx '

dz = -f1 dv + -r- dx.

dv dx

Ces considérations s'étendront facilement au cas où il y aurait un plus grand nombre de variables et d'équations.

vi. differentielles des divers ordres pour les fonctions d'une seule variable.

46. Nous considérons en premier lieu une seule variable indépendante x et la fonction y dépendante de cette variable, en écrivant toujours

et pour rendre les notions plus sensibles nous supposons que l'on ait sous les yeux la représentation géométrique de la fonction , conformément à ce qui a été dit n* 5. L'abscisse OP , fig. 4, représente x , et l'ordonnée PM représente y. Cela posé , admettons que x croisse de la quantité quel-

conque àx représentée par PP. La nouvelle valeur de y, que nous désignerons par y, , sera représentée par PM', et MfQ représentera Ay.

On aura

*y = yi — y-

Supposons ensuite que x croisse encore à partir de la valeur OF de la même quantité bx , qui sera représentée par P?"=PF. La nouvelle valeur de y, que nous désignerons par y,, sera représentée par P"M", et M"Q' représentera Ayr On aura

*yi = !/i — Ifi-

Remarquons que si Ton prolonge la sécante MM' jusqu'en S, l'intervalle SQ' sera égal à M'Q ou Ay. Donc M"S représente la différence de Ayt et Ay. Comme on a représenté par ty la différence des deux valeurs de y qui répondent k x et x -f Lx, l'analogie conduit à représenter par AAy ou par A*y la différence des deux valeurs de Ay qui répondent à x etx -f Ar. Nous écrivons donc

A,y = Ay1 — Ay.

On acquiert une idée plus nette des quantités que nous considérons ici en formant le tableau suivant :

TALEUES

de S.

▼ALEUKS

correspondantes de y.

DIFFÉRENCES

de ces valeurs.

DIFFÉRENCES

des différences.

x-fAx jt4-2Aj?

*y =yi— y

A3y=Ayt-Ay

Nous ajouterons que les géomètres nomment Ay la différence première ou la différence du premier ordre de la fonction y ; et A'y la différence seconde ou la différence du second ordre de cette même fonction.

47. Admettons maintenant que la différence toc de la variable indépendante diminue progressivement, et tende à devenir égale à zéro. Les deux points M', M" tendront à se confondre avec le point M ; les deux valeurs y, et yt à devenir égales à y ; et les trois différences Ay, Ay„ et A*y à devenir en même temps égales à zéro. Mais il est bien important de remarquer que la différence seconde A2y diminuera beaucoup plus rapidement que les différences premières Ay et Ay, ; en sorte que Ax, Ay et Ay, étant devenues très-peti(es par rapport à l'unité , A*y sera devenue très-petite par rapport à at, Ay ou Ay,.

Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que l'expression de A'y peut s'écrire ainsi

*»-Gs-©*

Or, en supposant que Are décroisse et tende à devenir nulle ,

At/. Ali

les quantités — et —s'approcheront toutes deux de la même

dy limite, qui est — . Donc, la valeur de A'y, formée de deux

facteurs qui ont pour limite commune 0 , diminuera beaucoup plus rapidement que l'un de ces facteurs , et quand tous deux seront très-petits , sera elle-même très -petite par rapport à l'un ou à l'autre. »