Lorsque l'équation de l'enveloppée

est donnée, l'équation générale de l'enveloppe exprimée

en quantités finies s'en déduit immédiatement. Car l'éqna-

d¥ dF

tion F+^-d«=0, que Ton peut réduire à — A=0,

appartenant à l'enveloppée infiniment voisine, le système des équations

représente la courbe d'intersection de ces deux enveloppée*, courbe que nous appelons caractéristique. Ces deux équations donneront donc toutes les caractéristiques possibles appartenant à la série des positions de l'enveloppée définie

par les fonctions <p, ^o , quand on y fera varier % depuis

— qo jusqu'à -J-oo. Donc, puisque l'enveloppe est évidemment le lieu de ces caractéristiques, l'équation de l'enveloppe est le résultat de l'élimination de a entre les deuv équations

élimination qui ne peut être effectuée qu'après que les fonctions «p,^,©, auront été définies.

593. Il existe généralement sur une enveloppe quelconque, et par conséquent sur une surface quelconque ejr toutes les surfaces peuvent être regardées comme des enveloppes) , diverses lignes remarquables dont le caractère géométrique résulte de la définition seule de l'enveloppée , ei

subsiste, comme le caractère géométrique de l'enveloppe elle-même, indépendamment des lois arbitraires qui déterminent le mode de déplacement de cette enveloppée. Les équations aux différences ordinaires de ces lignes, comme on Fa vu dans les n°* 479 et suivants pour la caractéristique, peuvent être déduites de l'équation aux différences partielles de la surface, qu'elles servent à intégrer; et l'on peut aussi obtenir leurs équations en quantités finies au moyen de celle de l'enveloppée.

Quant à la caractéristique, elle est représentée par le système des deux équations

P = o, E = of

qui, lorsque les fonctions y,^,*, auront été définies,

donneront toutes les caractéristiques appartenant à une même enveloppe quelconque en fixant convenablement la valeur de ou