Considérons maintenant les deux caractéristiques

consécutives qui résultent de l'intersection deux à deux de

trois enveloppées consécutives. Les équations de ces trois

dF enveloppées étant représentées par F=0,F4--T-dot=0,

dF d*F F-j-2<fe-{--cfa*==0, la première caractéristique est da dot

dF donnée par les deux équations F = 0et— =0, et la se-

• ' da

da

dF eonde caractéristique par les deux équations — =0 et

— - = 0. Ces deux lignes courbes se coupent en général en

même temps qu'elles se touchent en un point déterminé pu les valeurs de x,y9x, qui satisfont simultanément aux troi> équations

' da da*

En attribuant successivement à a toutes les valeurs possfl)^ depuis — oo jusqu'à +oo, les valeurs de a?,y,z, dédoife? de ces trois équations, appartiennent à la série des point* dans lesquels chaque caractéristique est coupée et toucha par la caractéristique voisine. La suite de ces points forme toujours sur l'enveloppe une ligne remarquable , à laquWl on a donné le nom d'arête de rebroussement. Les arêtes & rebroussement partagent en général les surfaces en napp* distinctes : elles sont touchées par toutes les caractéristique*, et sont à leur égard de véritables enveloppes.

L'arête de rebroussement étant le lieu des points d'intersection de la caractéristique correspondante à une valeur déterminée de « , et de la caractéristique voisine , on a évidemment les équations de cette courbe pour une enveloppa déterminée en éliminant a entre les trois équations

élimination qui ne pourra avoir lieu qu'après que les fonctions ^,^,o7 qui définissent l'enveloppe auront et»

données. Les deux équations en x,y,z, qui résultent dr cette élimination , appartiennent donc à l'arête de rebroussement.

595. Considérons encore trois caractéristiques consécutives résultant de l'intersection deux à deux des quatre enveloppées consécutives , dont les équations sont

Si ces trois caractéristiques se coupent en un seul point, ce qui ne peut avoir lieu que dans des cas très-particuliers, les valeurs de x, y , z , appartenant à ce point , satisferont à la fois aux quatre équations précédentes. Donc, si Ton élimine x, y, x entre les quatre équations ,

l'équation en a, qui restera après cette élimination, donnera la valeur de ce paramètre, à laquelle correspondra la caractéristique sur laquelle le point dont il s'agit se trouvera placé. H sera donc situé au lieu où cette caractéristique touche l'arête de rebroussement. Les points de cette espèce sont toujours très-remarquables sur cette arête, à l'égard de laquelle ils sont eux-mêmes des points d'inflexion ou de rebroussement.

596. 11 arrive quelquefois que les caractéristiques d'une enveloppe ne se coupent nulle part, et par conséquent que la surface ne présente pas d'arête de rebroussement. Mais alors il existe en général un point sur chaque caractéristique où elle se trouve plus rapprochée de la caractéristique contiguë que dans tout autre lieu. La série de ces points forme suy la surface une ligne que Ton distingue facilement , et que Ton a nommée ligne de striction.

Surfaces cylindrique*.

597. Une surface cylindrique, considérée de la manière la plus générale, peut être regardée comme l'enveloppe de Pespace décrit par un plan qui se meut sans cesser d'être parallèle à une même droite donnée prise pour directrice. Soient

x = az , y = bz ,

les équations de cette directrice. L'équation d'un plan étant

z = A x -f By 4* C ,

ce plan sera parallèle à la droite donnée si Ton a la relation

i = Àa + B6,

au moyen de laquelle on peut éliminer l'une des constantes A, B. En éliminant A, par exemple, il viendra

pour Téquation d'un plan quelconque, parallèle à la droite donnée. Cette équation est ici celle de l'enveloppée, et B,C sont les deux constantes arbitraires qui en déterminent h position. En éliminant donc ces deux constantes entre cette équation et ses deux équations différentielles du premier ordre, qui sont

dz __1-B6 dx~~ a '

dz

il viendra

dx ^ dy *

pour Téquation aux différences partielles du premier ordre qui appartient également à l'enveloppée et à l'enveloppe, c'est-à-dire au plan mobile et à une surface cylindrique quelconque décrite par ce plan.

On aurait pu reconnaître immédiatement que

dx dy~

appartient à une surface cylindrique quelconque , dont les arêtes sont parallèles à la droite ayant pour équations x = az, y=bz, en remarquant que tout plan tangent à cette surface doit être parallèle à la droite dont il s'agit.

598. Pour intégrer Téquation précédente , conformément à ce qui a été exposé dans les nM 478 et suivants , on formera les équations aux différences ordinaires de la caractéristique, qui seront ici

ady — bdx = 0 ,

adz — dx=zO ,

bdz — dy = 0,

Ces équations appartiennent évidemment à une ligne droite parallèle à la directrice, et l'on aurait pu les écrire immédiatement en remarquant que la caractéristique est Tintersection de deux plans parallèles à cette ligne. En intégrant les deux dernières il viendra

x = az + a, y = te + 6,