Si dans l'équation générale

la fonction <p doit être déterminée par la condition que la surface conique passe par une courbe donnée dont les équations soient tz[x, y, z)=Q, H(ir,y,z)=0, les équations de la génératrice devront subsister en même temps que Celles-ci. Posant donc les quatre équations

n{x,y,z)-0 Y(tf,y,s) = 0

z—c TV '

entre lesquelles on éliminera x, y, z, il restera une équation que nous représenterons par f[a,y(a)]=0. L'équation de la surface conique demandée sera donc

is=a îH\=0.' '\z — c' z — cj

606. Si la fonction ? doit être déterminée par la condition que la surface conique soit tangente à une surface donnée ayant pour équation it(x, y9 z) = Q, on verra comme dans le n° 601 , que Ton obtient une seconde équation Y(a?,y,*)=0

de la courbe de contact en prenant les valeurs de -r- et —

dx dy

dans Péquation donnée it (x, y,z) = 0 , et les substituant dans

Péquation différentielle (#— a) — + (y — b)-r- =z — c. La

question se trouve alors ramenée au cas du numéro précédent.

Surfaces de révolution.

607. Une surface de révolution est l'enveloppe de l'espace décrit par une sphère dont le centre se meut sur une ligne droite qui est l'axe de la surface, et dont le rayon varie suivant une loi quelconque. Soient

x' = Az' + a

les équations données de l'axe de la surface. L'équation d'une sphère de rayon r, dont le centre est placé sur cet axe, sera

xyy,z9 représentant les coordonnées d'un point quelconque de la sphère. Cette équation appartient donc ici à l'enveloppée ; x7 et r sont les deux constantes arbitraires qui peuvent être déterminées de manière à donner une enveloppée quelconque. En différentiant l'équation dont il s'agit par rapport à x et à y, il vient

et en éliminant 2',

dz , . .dz

pour l'équation aux différences partielles appartenant à toutes les surfaces de révolution.

On peut obtenir la même. équation en remarquant que. dans un point quelconque d'une surface de révolution, le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien, c'est-àdire au plan mené par l'axe de la surface et par le point dont il s'agit L'équation d'un plan méridien passant par h» point de la surface dont les coordonnées sont x,y9 x petit être représentée par

les constantes M, N étant déterminées de manière à fair*

passer également ce plan par Taxe de la surface. Cette condition donne la seconde équation

qui doit subsister quelle que soit *'. Elle se décompose donc dans les deux suivantes

i=MA+NB, d'Où M = B(J-^y) Mais l'équation du plan tangent étant

il sera perpendiculaire au plan méridien si Ton a la relation dz dz

équation qui revient è la précédente quand on met à la place de M et N leurs valeurs.

On peut encore obtenir cette équation d'après la propriété générale des surfaces de révolution qui consiste en ce que la normale à un point quelconque rencontre toujours l'axe. Les équations de la normale sont en général

les mêmes valeurs de af, yf, x' devront donc satisfaire à ces équations et à celles de Taxe. Si Ton élimine x\ j,ï entre ces quatre équations, on retrouvera l'équation aux différences partielles dont il s'agit.