L'intégration de l'équation

(y-b-jte)te^x-a-A*)^ = *(x-a)-\(y-b\

dépend, conformément aux n" 478 et suivants, des équations

^ __6 B2:)dy + ^x^a^xz)dx = 0 fo— b — Kz)dz— [Bfc— a)— À(y — ft)]rfa? = 0 — (a?— a— kz)Az— [B(x— a) — À(y — b)]dy = 0

qui appartiennent à la caractéristique. Ces équations ne peuvent être immédiatement intégrées; mais si Ton ajoute les deux dernières après avoir multiplié la première par A et la seconde par B, puis si on les ajoute de nouveau après avoir multiplié la première par & — a et la seconde par y— 6, on trouvera

(x—a)dx + (y—à)dy + zdz = 0 ;

et en intégrant

hx + By + z = a (*—a)« + (y-*)« + *» = 6t

a et 6 étant deux constantes arbitraires. L'une de ces équations appartenant à un plan quelconque perpendiculaire à l'axe donné de la surface de révolution, l'autre à une sphère

d'un rayon quelconque, dont le centre est placé au point, dont les coordonnées sont a, fr, 0, c'est-à-dire au point où cet axe rencontre le plan des x, y, on reconnaît que la caractéristique est toujours un cercle dont le centre est dans l'axe, et dont le plan eàt perpendiculaire à cet axe. On a d'ailleurs pour l'équation générale des surfaces de révolution

(*— <0» + (y— &)' + 1* = ?(A* + By + z) ,

? désignant toujours une fonction arbitraire*

On obtient immédiatement cette équation en remarquant que si un point se déplace sur la surface sans sortir d'une même caractéristique, c est-à-dire d'une même section faite perpendiculairement à l'axe, ou d'un parallèle, les quantités A*+By+* et (a>— *)*+ (y— 6)*-f a1 conserveront toutes deux des valeurs constantes, tandis qu'elles varieront toutes deux si le point se déplace en passant d'une caractéristique à une autre; d'où il suit que l'une dé ces quantités est nécessairement fonction de l'autre.

600. La fonction arbitraire ? dans l'équation précédente peut être déterminée par ta condition que la surface passe par une courbe quelconque donnée, dont les équations sont rc(x, y, x) = 0, T(ar, y, z) =0, c'est-à-dire que cette surface soit décrite par la révolution de la courbe autour de l'axe. Comme toutes les caractéristiques doivent rencontrer la courbe donnée, il doit exister des valeurs de x, y, z, qui satisfont à la fois aux quatre équations

V(x,y,z) = 0 ht + Bp + z = * {* - o)1 + iy - W + i1 = *(»).

Éliminant x, y, z entre ces équations, il restera une relation entre a et ©(a), que nous désignons par f[*9 <?(«)] =o, par laquelle la fonction <p est déterminée. L'équation de la surface demandée est

f[Ax + hy + z, (x— a)*-f (y — 6)»+2,] = 0.

610. La fonction arbitraire peut également être déterminée dans l'équation du n° 608, par la condition que la surface de révolution enveloppe une surface quelconque donnée, dont l'équation est «(ar, y, *)=0, c'est-à-dire soit décrite par la révolution de cette surface autour de l'axe. Il est visible que la surface de révolution demandée doit toucher la surface donnée, et qu'on aura une seconde équation primitive appartenant à la courbe de contact en prenant les valeurs de — et — dans F équation x(x, y, *)=0. et les substituant dans l'équation différentielle

(y— 6— B*)^ — (*— a— Az)^ = B(x— a) — À(y — b).

Soit V(x, y , z)=0 le résultat de cette substitution : la solution s'achèvera conformément à ce qu'on a vu dans le numéro précédent.

Surface gauche décrite par une ligne droite horizontale, passant toujours par une même verticale.

611. Nous supposerons le plan des xy horizontal et Fax? des z vertical, et nous considérerons la surface décrite par

une ligne droite parallèle au plan 'des xy, et passant constamment par Taxe des z.

Considérons en premier lieu la surface qui serait l'enveloppe de l'espace décrit par un cylindre de rayon r, dont Taxe demeurerait toujours parallèle au plan des xy, et passerait constamment par l'axe des z. On aurait évidemment

SïT+f-i""

pour l'équation de ce cylindre, qui est l'enveloppée; a et c étant les deux constantes arbitraires, dont la première représente la tangente de l'angle formé par l'axe du cylindre avec le plan des xz, et la seconde la distance de cet axe au plan des xy. Prenant les deux équations différentielles, il viendra

d'où Ton déduit immédiatement

Jdz dz\ A

c'est-à-dire

dz

dz . dz ... dx

— +a-r-=0, d'où a = — -3- (Lr dy dz

dy

valeur qui doit être substituée dans l'équation de l'enveloppée. Mais si nous supposons le rayon r infiniment petit, cas

dans lequel l'enveloppe de l'espace décrit par le cylindre ne différera pas de la surface gauche dont il s'agit, nous devons négliger dans cette équation les termes (* — «)* et r1; elle deviendra donc, en y remplaçant a par la valeur précédente,

dz dz

qui est l'équation aux différences partielles de cette surface gauche.

On pourrait parvenir directement au même résultat eo partant de cette propriété générale des surfaces gauches qui consiste en ce que, pour un point quelconque de ces surfaces, le plan tangent contient la génératrice rectiligns qui passe par ce point. L'équation générale du plan tangent étant

on a

pour l'équation de l'intersection de ce plan par un plan horizontal mené par le point de tangence. Or, cette inleiitetion n'étant autre chose que la génératrice elle-même , qui doit rencontrer l'axe dçp s, soj> équation doit être satisfaite par les valeurs ar'=0, y' = 0, ce qui donne comme ci-dessus

dt , dt .

4M3. L'intégrale générale de cette équation s'obtiendra en posant

xdy—ydx = 09 d'où ^ = a

dz=09 ' z = 6,

« et 6 étant deux constantes arbitraires; ce qui donne

pour l'intégrale cherchée, ? étant le signe d'une fonction arbitraire. La considération de la caractéristique, qui est toujours une ligne droite horizontale ayant pour équations