La même expression de A*y peut aussi s'écrire

.. Ai Aa?/A .#

Lorsque àœ diminue en s'approchant de zéro et devient plus petite que toute grandeur donnée, ce que nous exprimons en représentant cette différence par dx, chacune des quantités iy Ay, dy

port

Ax

Aj?

AJC

a pour limite le coefficient différentiel de la

fonction ^-, c'est-à-dire dx

dx dx

Ainsi, en représentant par

<fy ce que devient à*y lorsque bx devient dx , on a

fy est appelé la différentielle du second ordre de la fonction y. Nous remarquerons d'ailleurs que Ton est dans l'usage décrire simplement Aar* ou dx2 pour exprimer le carré de Aar * ou de dx. Il n'est point à craindre que l'expression dx* soit confondue avec la différentielle de la fonction x*} qui serait représentée par d (a?*), ou par d.x*.

La fonction -^ est le coefficient différentiel du premier ordre dx

dx de la fonction y, et -3 — est le coefficient différentiel du **dx

tond ordre de cette même fonction. L'analogie conduit à le

d*u représenter d'une manière plus simple en écrivant -7-^.

Ainsi la différentielle du second ordre est exprimée par

1" À55ÉI.

c'est-à-dire qu'elle est égale au produit du carré de dx par le coefficient différentiel du second ordre de la fonction proposée; ou par la fonction que Ton trouverait en prenant, conformément aux règles de l'article III, le coefficient différentiel de y 9 puis le coefficient différentiel de celui-ci.

Lorsqu'on exprime d'après Lagrange le coefficient différentiel ou la fonction dérivée du premier ordre par y' ou par f'(x) , on exprime de même le coefficient différentiel ou la fonction dérivée du second ordre par y" ou par f{x).

49. Il est évident, d'après ce qui précède, que l'on obtiendra la différentielle du second ordre de la fonction proposée en différentiant deux fois de suite cette fonction, la différentielle dx étant regardée dans la seconde différentiation comme un facteur constant

30. Nous pouvons supposer le tableau du n° 46 continué en considérant quatre valeurs consécutives de x séparées par l'intervalle constant A#, ce qui donnera