Enfin, soit m négatif et = — q. On a
K)"=Kr=(;îï)'
d'où
. Kr=Gi)'=(«^r-(-^>
et Ton retrouve encore pour q infini la limite e.
— OZO —
Nouvelle expression du reste pour les formules de Matlaurih et de Taylàï.
i . M. Cauchy a donné une expression nouvelle du rette de la formule de Maclaurin. Pour l'obtenir, représentons par y(x, z) ou simplement par j(js) la quantité
M-M-e^m- -lÈ^Tf"'*
qui s'évanouit pour z = a\ En différentiant par rapport à s et omettant les termes qui se détruisent, on trouve
*W 1.2....(îl— 1)' W
Mais par la formule de Taylor bornée à deux termes, et en observant que z = x + (z — x), on a
6t désignant une quantité comprise entre 0 et 1. A cause de (p(#) = 0, cette équation se réduit à
puis, en remplaçant la fonction <?' par sa valeur, elle devient
ou bien, en poêant 6, = 1 — e,
Pour le cas particulier de z = 0 ,
0 est, comme 6t, compris entre 0 et 1 : ©(0) est d'ailleurs la valeur de la quantité
par suite on a
Telle est la formule de M. Cauchy, qui pourra souvent être utile pour des discussions de convergence auxquelles Tan • cienne expression du reste ne conviendrait pas. Nous engageons nos lecteurs à l'appliquer aux fonctions
f(x)=(i-xr
et
f(x) = log.(i-x),
la valeur de x étant supposée positive et < 1.
â. La formule de Maclaurin et celle de Taylor ne sont au fond qu'une même formule considérée sous deux points de vue différents. On appliquera donc aisément à la formule de Taylor le résultat qui précède.
On trouvera
,<*+*)=A*)+în*)+ •»L>^T i)/^w
Sur les fractions qui se présentent sous la forme §-.
4. Lorsque, pour une valeur particulière a de or, une fraction
se présente sous la forme -, on obtient généralement la vraie valeur A de cette fraction en la remplaçant par la suivante :
et faisant ensuite x = a. La même règle s'applique encore à la fraction proposée lorsque, pour x = a, elle se présente sous la forme |~. Pour démontrer ce théorème dû, je crois, à M. Cauchy, écrivons d'abord
pour x~ay le second membre devient -; sa vraie valeur A
s'obtiendra donc en faisant x = a dans la fraction nouvelle
rix)
on a par suite
En appliquant cette règle aux deux quantités
log.x
xMog.x,
xH
dont la première doit être regardée comme le quotient de
log. x par -^ , on trotlve , en supposant n positif ,
«"log.aîss log.e=0 pour x = 0,
et
^ = ^log^ = # pour * = «>.
2. M. Bertrand a fiait observer que la démonstration précédente de la règle de M. Cauchy ne convient pas aux bas où A serait zéro ou l'infini, puisqu'alors on ne pourrait plus diviser par A les deux membres de l'équation
