La fonction -^ — 7 qui sert de Coefficient à t~** et que

nous désignerons par /(a) , peut se développer en une série ordonnée suivant les puissances dé a. Ëtl différenciant plusieurs fois de suite l'équation

on a

(*«- i)rw + **«/» + e*n*) = o»

(«■-irw + sirw + KW + ^^o,

de sorte qu'en posant a = 0, on trouve sans difficulté

rto)=i, r(o)=-|, n©)=§

Les deux premiers termes du développement de f(%) sont

donc i — -; et les autres ne peuvent contenir que des puissances paires de a, car la différence

est égale à la moitié de

et par conséquent est une fonction paire de «. Les valeurs générales de /*"(*) et de f"(*) sont

n*) = çr=jp{l*-WÊ + * + *),

En se rappelant que la variable a est > 0, on peut prouver que la première de ces deux dérivées est essentiellement positive et la seconde essentiellement négative.

Il suffit pour cela de prouver que les valeurs des deux facteurs

(a— 2)** + « + 2 et

sont positives; ce qui deviendra évident si Ton développe en séries les exponentielles qu'ils contiennent, au moyen de la formule

^=1 + r + â+etc-

En effet, on trouvera ainsi te premier de ces facteurs égal à

a» a4 am Ï3 + ££Â + + 2.3 (m— 2j(m— i)m + '

et le second égal à

*1 * An + 2-Hn-6)

dont tous les termes sont positifs.

On voit d'après cela que f"(*)'e$t une fonction décroissante de a dont la plus grande valeur est égale à f"(0),

c'est-à-dire à -.