Après cette digression, revenons au développement

de /"(a). D'après une formule connue , nous pourrons écrire

R représentant, suivant que Ton voudra pousser le développement plus ou moins loin, ou la quantité

nHN.

ou la quantité

a*f"(0) «««^(O) of+y+^eg)

c'est ce que l'on comprendra en se rappelant que R est une fonction paire de a ; à peine est-il nécessaire d'avertir que ft représente d'une manière générale un certain nombre compris entre 0 et \ . Cette valeur de /"(«) substituée dans celle

de 3- fournit dx

c'est-à-dire , en vertu de la formule (l)

^-io**4--±— r»»***

s~log.x + ^-jo— j— .

Par conséquent

u»0+(»+|)lo**--«+ /^5£J^.

Çptte valeur de u est en même temps celle de log.(t.2.3...*). Nous prouverons plus tard que la constante C est égale à

log.(v^).

5. pn trouve aisément les limites de l'erreur que Ton commettrait en négligeant dans le second membre le terme

f*>Re-**d*

A cause de

ce terme devient

\fl<r"n**)d*'

Il est donc essentiellement positif comme la fonction /"(fa). De plus , il est moindre que

puisque Ton a /"(&*)<£.

Cette discussion nous montre qu'en désignant par y. un

certain nombre compris entre 0 et i , on peut poser

log.(1.2.&..x) = C + (x + |) log.s — x + -jjfe.