Si l'on prend

LS * •"- "*■ 1.2...2» + i.2-.(2n + 2) • le terme

se présentera sous une autre forme; il deviendra

rw , . no) a r°r^^p^vpa)éx

et si Von veut avoir une limite supérieure de la valeur absolue de l'intégrale dont il dépend, et qui exprime le reste de la série, il suffira de remplacer f***^*) par le maximum absolu M de f**+*(<x), ce qui permettra d'effectuer l'intégration. On trouve ainsi que le reste est numériquement inférieur à

(2n+i)(2n + tyx*+i9

HOTES. n *

quantité d'autant plua petite, pour une valeur donnée de a, que x est plus grand.

Au surplus la considération attentive des signes fournit une expression du reste encore plus précise et plus commode.

En effet, à l'aide d'une discussion convenable , et par divers moyens, on s'est assuré que la valeur générale di resté

change de signe quand on augmente n d'une unité, c'est-àdire quand on prend dans la série un terme de plus, savoir

(2n + i)(2n + 2)jc*«+1'

d'où l'on conclut aisément :

1° Que le reste est du signe de ce terme; 2" qu'a est numériquement moindre, puisque, pour en avoir fa valeur exaete, il faudrait y ajouter une quantité de signe opposé.

Nous h'ëhtrehriis pas dans te détail de la démonstration du théorème qui vient d'être énoncé, n étant un nombre quelconque. La considération des premières dérivées de f(*) surfit aux principales àpfdicâtiôtié, et pbiiï elles te cdeul indiqué plus haut est fort simple.