Pour déterminer la constante C, mettoiis l'équation

log.

;.(i.2.3...*) = C+ (x + |) log.»-* + JL

sous la forme log.l+10g.î+log.3+...+log.x=(H-(*+|jlOB.x— x+ete.

le signe etc. désignant on terme qui s'annule quand x= « . Nous en tirerons facilement

tog.i+log.2+log.3+...+log.2a:==C + (2*+! Jlog.2*-2*+etc.

A cause de

log.2+log.4+...+log.2a?==xlog.3+log.i+log^+...+k«.xf

nous aurons aussi

log.2+ log4 + log.6+... +log.2x =C + (a? + 1 j log.x+* log. S

— x-f etc.

Retranchant cette équation de celle qui donne la somme des logarithmes des nombres naturels depuis 4 jusqu'à 2x, on

obtient

lpg.i+log.34-log.5+...+log.(2«— l)=*log.*+ (x+ |)log.2

— x+etc.

Retranchant à son tour le double de cette nouvelle équation du double de la précédente, il vient enfin

21og.2+21og.A+21og.6+... + 21og.(2x— 2) + log.2*

-21og.l-.21og. 3— 21og.5— ...— 21og.(2«— 3)— 21og.(2x— 1)

»2C— 21og.2 + etc.

de sorte qu'à l'aide de la formule de Wallis citée plus haut, on trouve, en faisant x infini,

log.x— log.2 = 2C — 21og.2,