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Sur une application singulière de la théorie des intégrales doubles â la démonstration d'un théorème d'algèbre.

1. En désignant par x et y deux variables indépendantes qu'on peut regarder oomme les coordonnées rectangulaires d'un point pris dans un plan fixe horizontal, et par 2 une fonction réelle et déterminée de x et y, qui ne devient pas infinie entre les limites a et b de x, a et p ç\e y, on voit que les deux intégrale§ doubles

sont nécessairement égales entre elles, puisqu'elles représentent toutes deux un môme volume, savoir, le volume compris entre le plan fixe horizontal, quatre plans perpendiculaires à celui-là, qui répondent qux limites a, b, a, p, enfin une surface dont l'ordonnée verticale est, pour chaque système de valeurs des deux quantités x et y, représentée par £. Or on peut de là conclure, avec M. G&uss, que (e preqiier membre de toute équation algébrique à coefficients réels

est divisible soit par un facteur réel du premier degré z zp p, soit par un facteur réel du second degré z* — âp*cos.u> + P% en sorte que cette équation a toujours au moins une racine réelle ou imaginaire, savoir dbp ou p(cos.o>-|-^ — 4sin.u>).

En d'autres termes, on peut prouver qu'il existe toujours des valeurs réelles des deux quantités p et w satisfaisant i 1« fois aux deux équations

p* cos. mu + Apm-1cos.(m— 1>>4- +Lpcos.*> + M=0,

pMsin.mb> -f Ap^1 sin.(m— 1>> + + LpsifLu = 0 ;

d'où l'on conclut de suite l'existence d'un facteur réel du premier ou du second degré pour le polynôme proposé *- + A*— 'H-etc. C).

2. Désignons en effet par t et u les premiers membres de ces équations , puis posons

,, d» __ di , dt du r-^"-pV u-~~fo-9d99

~~ du dp* ~~ d*o ~~ ' p dp '

Soit R une quantité positive quelconque, mais plus grande que la plus grande des quantités

rnAV*. JmWfî, y/mcyf, # ÎJ/mM'v^

où A', B', G',..->M' désignent les valeurs absolues des coefficients A, B, G, ...,M. Gela étant, je dis que si l'on pose p=R, la somme ti + t»uf aura une valeur positive. Pour le montrer, observons d'abord que les quatre quantités suivantes

R*cos. g + AR^cos. fg + «ij + .... -f Mcos. fe +m»J

R~sin. î + AR^sin. fë + *>) -f-.... + Msin. (r + «»)

(") Cette démonstration a été présentée par M. Gauss sou me ton» entièrement indépendante de l'emploi des imaginaires.

mR"cos. JH +(m— 1)AR— »cos. fë +«) +... +LRcos. fc +(m— 1>A mR-sin, ^ +(m— i)AR— fsiiL fe +*>) +... +LRsiiL fc +(m— !)■>)

que je nommerai respectivement T, U, T, IT, sont toutes > 0 : on le prouve, par exemple, pour la première, en décomposant T sous cette forme

+ ^[Rt + OTB^COa-(ï+2w)]

Rm

et en se rappelant ce que Ton a dit ci-dessus de la grandeur de R. Une démonstration semblable s'applique aux trois autres sommes U, T, U'.

Or, pour p = R, on a

t = Tcos. ( ^ + m*») + U sliL ( ^ + m« \ il = Tsin. fj + !«*») — U cos. f~ + mcoj f = rcos. (j + nJ\ + U'sin. ^ + m*A ii'=rsiiL^ + wi««>^U'cofl.^ + ifi«»>V

et de là résulte tf + iw':=TT +UU' : donc tt + *u' est > 0. On peut observer en passant que nos équations donnent en outre I1 + u% = T* + U*.

3. Maintenant on peut démontrer le théorème qui bit l'objet de cette noté, savoir qu'entre les limites p=0, p=R, cd=0, w = 2* , il existe certaines valeurs de w et de p pour lesquelles an a à la fais t = 0, u = 0. Car ri l'on n'admet pas ce théorème, il faudra en conclure que la fraction

(fi + tf«)(ft" + nu") + (fn'— tiiy — ftf + tap* p(** + wV

ne deviendra pal infinie entre les limites citées, et que, par suite, on aura

Or

f*dçP*U»=(*d»f*id9.

/. tu' — ut

comme cm le vérifie aisément par la différentiâtion : de plus. l9 uft7 u\ reprennent les mêmes valeurs aux deux limités 0 et 2n: par suite, on a

P'zdc^o,

en sorte que la première de nos deux intégrales doubles se réduit à zéro» Mais la seconde est au contraire essentiellement > o. En effet, si Ton intègre d'abord par rapport à p. il vient

d'où

r9. tr + nut