R * . TT + UU

et partant

c'est-à-dire

/ rfw / Zdco = une quantité positive,

puisque l'élément

prr + imyttû

est essentiellement positif. Donc l'équation

est impossible; donc aussi la fraction Z devient infinie une ou plusieurs fois , et par suite t et u s'annulent ensemble pour des valeurs réelles de p et ta, C. Q. F. D.

dy Sur l'équation différentielle du premier ardre : ~-=f(x,y).

i. On sait que pour trouver l'intégrale en série de l'équation différentielle du premier ordre

telle que la fournit le théorème de Taylor, il faut exécuter, sur la fonction f[x> y) ou fy les opérations que voici :

£ + $Mf«i<»*>.

Après quoi, Ton a:

y = b+.ï=Zna, b) + Ç^ffab) + etc.,

6 désignant la valeur arbitraire de y pour x = a. Peut-être est-il bon d'ajouter que la considération de la

fonction fl9 qui se présente d'abord dans ces calculs, peut quelquefois être utile à un autre point de vue.

2. En effet, si f renferme une constante indéterminée a, qui disparaisse dans ft , ou plus généralement qui disparaisse dans le produit «p(/)/i, <?{f) désignant une fonction donnée quelconque de f, je dis que la formule

l(f)fjdy-fdx)

remplira la condition connue d'intégralité relativement aux deux variables xety, prises comme indépendantes; en sorte que l'intégrale sous forme finie de l'équation (À) sera

?(/) -f- (dy — fdx) = constante.

La démonstration est très-simple. Puisque <p(f)f, ne contient plus «y on a

Mettant donc pour fx sa valeur

f-*L + *Lf

'«- dx + dy'> il vient

Or on s'assure sans peine que

et l'on conclut de là finalement que

c'est précisément l'équation de condition nécessaire et suffisante pour que

soit une différentielle eiaote comme nous l'avions avancé.

im.

Sur l'équation différentielle du second ordre : 5-^ = F(ar, y ). i. L'équation différentielle du second ordre

qtd n'est que ptrtieulieN, puisque l'équation générale «était

jouit d'une propriété Remarquable, que M. Jaoobi a signalée , et qui se rattache intimement au théorème établi dans la note précédente. On peut, en effet, écrire de suite l'intégrale seconde ou complète (avec deux constantes arbitraires) de l'équation (4) , dès qu'où a réussi à en découvrir une intégrale première seulement.

Pour le prouver, soit

(3) jj|=rt«.V.«>

cette intégrale première, a étant la constante arbitraire introduite par l'intégration. En différenciant, on en déduit

Çy^ïL + dLty

dx* dx dy dx"

et par suite, en vertu des équations (1) et (2),

Cette dernière équation doit être identique; autrement y s'exprimerait au moyen d'une seule constante arbitraire, et ne répondrait plus, comme nous le supposons, à toute Tétendue de Téquation du second ordre (1). Or F(x, y) ne contient pas la constante « ; il faut donc que cette constante disparaisse d'elle-même de l'expression

" dx + dy'-

D'après le théorème démontré dans la note Vin, la formule

gjdy-fdx)

se trouve dès lors être une différentielle exacte. De là pour l'équation (2), et par conséquent pour l'équation (1), l'intégrale complète que voici :