En mettant d'ailleurs A*y sous la forme

on voit que Aa? diminuant et devenant plus petite que toute

Ay, — Ay, Ay. — Ay grandeur donnée, chacune des quantités A , et * ,

iym limite le coefficient différentiel du second ordre — ;

et que le rapport -

Aar*

a pour limite le coef-

d*y dx*

ficient différentiel de la fonction ~ , c'est-à-dire — ; — . On

dx* dx

a donc, en représentant par d*y, ce que devient A*y, lorsque

Aa? devient ete,

expression qui s'écrit d'une manière plus simple

d'y est la différentielle du troisième ordre de la fonction pro-

— — ou -7-^ est le coefficient diffè- (XX cl oc

posée y, et la fonction

rentiel du troisième ordre de cette même fonction. La différentielle du troisième ordre est égale au produit du cube de dx par le coefficient différentiel du troisième ordre.

Le coefficient différentiel du troisième ordre s'exprime également par y'" ou par /"' (x).

52. On obtiendra évidemment la différentielle du troisième ordre d'une fonction proposée en différentiant trois fois de suite cette fonction , la différentielle dx étant regardée dans la seconde et dans la troisième différentiation comme un facteur constant.

53. Si l'on considérait cinq valeurs consécutives de la variable indépendante, et les cinq valeurs correspondantes de

la fonction y, on se trouverait conduit à la différence du quatrième ordre A4y, dont l'expression serait composée de quatre facteurs , qui tous tendraient à devenir nuls lorsque ir tendrait elle-même à devenir nulle. Cette différence quatrième diminuerait donc, lorsque A4? approcherait de zéro, beaucoup plus rapidement que la différence troisième, qui n'est composée que de trois facteurs ayant zéro pour limite. En désignant par dky ce que devient A*y lorsque &r prend la valeur infiniment petite désignée par dx, on aurait

-— représentant le coefficient différentiel du quatrième ordre

de la fonction proposée , c'est-à-dire le résultat que Ton obtient en différentiant quatre fois de suite cette fonction , dx étant regardée comme un facteur constant, puis divisant par (Le*.

Et ainsi de suite, en considéraut un plus grand nombre de valeurs, et des différences d'un ordre plus élevé.

54 On voit par ce qui précède qu'une fonction quelconque y=f(x) peut être regardée comme donnant naissance à une suite indéfinie de différentielles représentées par

dy = ^dx9 d^ = gtte-f <f* = g«tt\etc.

qui se déduisent de la fonction même et les unes des autres par l'opération que nous avons appelée différentiation. L'expression de ces différentielles met d'ailleurs en évidence la subordination de leurs valeurs, puisque les coefficients diffé-

dy d*y d'y rentiels -p, -r-y , ^3, etc., qui sont des fonctions finies de la

variable x, s'y trouvent multipliés par des puissances de plus en plus élevées de la quantité infiniment petite dx. Cette subordination existe, bien que toutes les différentielles dy, d'y, <Py, etc., soient également regardées comme des quantités qui diffèrent de zéro moins que toute grandeur donnée. En effet, la supposition que dx diffère de zéro moins que toute grandeur donnée, ou que dx est infiniment petite, entraîne celle que les rapports de d'y à dy, de d'y à d'y, etc., diffèrent aussi de zéro moins que toute grandeur donnée; c'est ce que Ton exprime en disant que ces quantités sont infiniment petites les unes par rapport aux autres, ou qu'elles forment une suite d'infiniment petits d'un ordre de plus en plus élevé.

55. Nous remarquerons qu'en supposant la fonction y=f(x) représentée par l'ordonnée d'une courbe dont x est l'abscisse, la direction de la courbe et le côté de la figure vers lequel elle présente sa convexité sont déterminés, dans une étendue fort petite de part et d'autre du point m, par le signe seul des deux différentielles du premier et du second ordre dy et d'y, c'est-à-dire par le signe seul des coefficients différentiels ou fonctions dérivées du premier et du second

dy d*y ordre — , -7-*. Les diverses combinaisons qui peuvent exis-