Les fonctions a* et a-* donnent

d.a* . r dx

—. — = — ta. ût*.

rf8.a~*

Etc.

Et si le nombre a devient e . ou la base des logarithmes népériens, on a

dx* '

d\e* dx* =

dx* ~~

Etc. Etc.

La différentiation, comme on Ta déjà remarqué n° 22 , reproduit constamment la fonction t*, et plus généralement

la fonction te* qui seule présente cotte propriété Lorsque l'exprisant variable x est alïeeté «lu signe — , lu fonction prtmilive est également reproduite, mais les coefficients diiféreuliels sont alternativement négatifs et positifs.

SB. On trouve pour les fonctions triton ométriqu es sin, x et cos. x

7— = cckslx = sln> 1 »+ 5)1 — :r— — — sin.i^ cos. !*+§)•

= — 5ÏH. J* — silJ. I r 4 - , ' ^ = — COS. * SB COS. (jï + n) ,

toi . / , 3k\ <ftcos.:r . ' / , *c\

<tfin.x

ûj?

ftÉtg

. / , fe\ rf\cos..i" . / , 5ïA

= cos..r = sin. f x+ -^ 1 , - ^- =— sïn.#=cos. I *+ — J ,

Etc. Etc.

les fonctions primitives reviennent, après deux différentiatinns, affectées du signe — . Apres quatre ddÏÏxentiations , ellfis reviennent avec leur signe.

fr>. On doit avoir présentes k l'esprit ces propriétés remarquables* Q est également utile de connaître la figure des nimbes qui représentent les fonctions simples dont il s'agit : pour la discussion de ces courbes l'expression des coefficients différentiels des deux premiers ordres donne de grandes facilités, conformément à ce qui a été dit n '86*

Soit en premier lieu

— mj;"*-1

tir1

=m(ffi — ijj'™"1.

La courbe, dont x est l'abscisse et y l'ordonnée, présentera diverses figures , suivant la nature de l'exposant m. Nous supposerons d'abord cet exposant positif et plus grand que l'unité.

1° Si m est un nombre entier pair, y est positive quel que

dy d*y

soit le signe de x} -p- change de signe avec x , -— est toujours positif. La courbe est représentée par la fig. 43. 2° Si m est un nombre entier impair, y change de signe

dy d*v

avec x, -p est constamment positif, -r~ change de signe

avec x. La courbe est représentée par la fig. 44.

3* Si m est un nombre fractionnaire - , p et q étant en-

tiers , la courbe est représentée par la fig. 43 lorsque p est pair et q impair, et par la fig. 44 lorsque p est impair et q impair. Mais si q est pair, la partie située du côté des x négatives n'existe pas, les valeurs de y correspondantes aux valeurs négatives de x étant alors imaginaires.

61. En supposant, en second lieu , l'exposant m positif et plus petit que l'unité, ce cas différera du précédent, en ce

que -pi sera négatif lorsque dans le cas précédent il était

positif, et positif quand il était négatif. La fig. 13 sera remplacée par la fig. 45, et la fig. 44 par la fig. 46.

62. En admettant maintenant que l'exposant m soit négatif, c'est-à-dire que l'on ait

dy__ m

dx #m+1*

d*y m(m+l) dx*** «•+• *

mtfïant un nombre positif, on passera facilement des cas précédents h ceux qui répondent à cette dernière supposition, eu divisant l'unité par les ordonnées des courbes, que représentent 1rs fig. 13 et 14, 15 et 16. Les fig. 13 et 15 seront remplacées par la fig. 17* et les fig. H et 16 par la fig, 18. Ls aies sont ici des asymptote* aux branches de la courbe, 63. Pour la fonction logarithmique t nous avons

- Iog.x,

du^

log.e

lof.e

fa*

La courbe (fig. 19J a Taxe des y pour asymptote du coté des tiives. L'abscisse oA du point où elle coupe l'axe des x est épie à l'unité. Il n'y a point de branche de la courbe du eftédes x négatives.

84 La fonction exponentielle a' donne

dtj

dx^

dhj

-- (taf.a*.

a étant un nombre positif et plus grand que l'unité, la valeur <le l'ordonnée croît indéfiniment du côté des jr positives j tuais la courbe {fig, 20) a Taxe des x pour asymptote du coté de x négatives. L'ordonnée oB , du point où elle coupe l'axe des y, est é^ale à Vunité, Si Ton supposait a positif et plus petit que l'unité , la

fonction a* se changerait alors en [-) , ou a-*, û étant

supposé comme ci-dessus plus grand que l'unité. Ainsi , ce cas revient au précédent en changeant les x positives pour les x négatives , et réciproquement.

Comme l'équation y = a* entraîne d'ailleurs x = log. y, a étant pris pour la base du système de logarithmes , il est visible que la courbe dont il s'agit ne diffère point de celle du numéro précédent , lorsqu'on change l'un pour l'autre les axes des x et des y.

Si l'on voulait prendre pour a dans la fonction a* un nombre négatif, cette fonction cesserait de présenter des valeurs continues : il n'existerait plus de courbe , mais seulement des points isolés correspondants aux valeurs de x égales à des nombres entiers ou à des fractions de dénominateur impair. Nous supposerons toujours, dans la suite, par cette raison , quand il s'agira d'un système quelconque de logarithmes , que la base a de ce système est un nombre positif et plus grand que l'unité.

65. Soit encore la fonction y = e~** qui se présente dans plusieurs applications importantes. Elle donne

La courbe (fig. 24 ) est formée de deux branches égales situées de part et d'autre de l'axe des y. L'ordonnée oB du point où elle coupe cet axe est égale à l'unité.

Le coefficient du premier ordre ■— change de signe avec

rf*w l'abscisse x. Le coefficient différentiel du second ordre -r-%

dx*

est négatif lorsque x est plus petite que la distance

M*=— , et positif lorsque x dépasse cette distance. .Vins! la

courbe présente sa concavité au I»as de la page dans lintntalle MAI , el au delà de cet intervalle elle y présente sa convexité* Les points M, dans lesquels la valeur du coefficient dii-

ferentiel — chance de SÎgD6f et pour lesquels la valeur

de ce coefficient différentiel est nulle , sont nommés points d'inflexion.

Considérons entin les fonctions trigonométriqiies,

tel

sin. j- t

ooa .r .

— sin. .1

U courbe ( fig* 2V2) coupe Taxe des j* aux points on l'abscisse

eri jpk aux arcs 0 , ~ , te * 3^ , etc. Dans ces pointe , la

tttgQDte forme avec les axes un angle égal à la moitié de

dy Uaijglc droit, puisque l'on a— = ±l< Les plus grandes

ordonnées , dont la valeur est l'unité , répondent aux points

M , dont l'abscisse est égaie aux arcs ~, -r^ —, etc.. Le signe

du coefficient différentiel du second ordre étant contraire à celui de l'ordonnée , la courbe présente sa convexité au bas delà page quand l'ordonnée est positive, et réciproquement. Les points ou l'ordonnée est nulle sont les points d'inflexion, CdH courbe se prolonge indéfiniment , soi! du coté des x positives , soit du coté des *r négatives, en présentant une

suite de parties identiquement égales à celles qui sont comprises dans l'intervalle de 0 à 2*. C'est ce qu'on exprime en disant que la fonction est périodique.