On a également

dy

-~- — — sm.x ,

dx

(Py

-r^ = — cos. x.

dx*

Il est assez visible que la figure de la courbe est parfaitement égale à la précédente , dans laquelle on aurait déplacé l'origine des abscisses x de l'intervalle ^, puisque l'on a toujours

cos.a? = sin. (# + £)•

VII. DIFFÉRENTIELLES DES DIVERS ORDRES POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.

68. La notion des différentielles des ordres supérieurs s'étend facilement aux fonctions de plusieurs variables, puisque la différentiation de ces fonctions s'effectue toujours en opérant séparément par rapport à chacune des variables.

Soit en premier lieu , comme dans le n° 40 , la fonction

a; et y étant deux variables indépendantes. On a vu que l'on obtenait pour cette fonction la différentielle du premier ordre totale exprimée par

dx

et formée de la somme des différences partielles -— djr.et

—%, prises respectivement en regardant x seule comme

variable et y seule comme variable* Le* fonctions désignées par

il dz

-r t*t — sont les coefficients différentiels partiels du premier

ordre de la fonction % pris respectivement par rapport à x et par rapport à y.

L'opération de la différent iation peut également s'appliquer 4 l'expression de dz , dans laquelle on regardera dx et dy txmaè des facteurs eousLants. Si Ton veut former la différentielle totale > il faudra différent] er successivement les

bâclions j- et -j- par rapport à ,r et par rapport à y. On aura

donc pour la différentielle totale du second ordre

(il

dy iU +

rf — d —

rf*

Bais nous avons déjà représenté dans l'article précédent le

dx #i

coefficient ditferentiel — ;— par — - : l'analogie conduit à re dx dx*

présenter de même — « — par , > « dy r dxdy

Ofi écrit également

dsz dydx

.. . du . <fi ., . ' dy . . , M au lieu de — r^ et — - au lieu de — r^. Ainsi 1 expression predx dy* dy

dente devient

ou si Ton veut

Dans cette expression de la différentielle seconde totale de

d*z la fonction z , le signe — représente le coefficient différentiel du second ordre de la fonction proposée , pris en regarda dant x seule comme variable. Le signe -r—-r exprime que Ton

a pris le coefficient différentiel du premier ordre — en regar-

ax

dant x seule comme variable , puis le coefficient différentiel

dz de cette fonction -- en regardant y seule comme variable. ax

dlz Le signe -r-r- exprime que Ton a pris le coefficient différends tiel du premier ordre -j- en regardant y seule comme variable,

puis le coefficient différentiel de cette fonction -7- en regar-

dlz dant x seule comme variable. Enfin -j-^ représente le coefficient différentiel du second ordre de la fonction z pris en regardant y seule comme variable.