Nous remarquerons maintenant que les deux coefficients

diz d*z différentiels j-r- et -t-t- sont nécessairement égaux. En effet,

(fô —

en revenant ici aux notions présentées dans les n"* 46 et suivants, on reconnaît que 2J est la limite vers laquelle tend

bz __ f(x+lr, y) — /(jf, y) A*~ Xr

lorsque Ajp tend à devenir nulle. De même -= — r- est la

drtfy

limite vers laquelle tend

ftx+àx, y+Ayy-f(x, y +%) /Tx+Ajt, y)— fl j-, y)

iîi.

Ax

lorsque Ax et Ay tendent à devenir nulles. On reconnaît de même que — est la limite vers laquelle tend

* te f(xt y + Ay ) — f{ x, y) Ay~ Ay

lorsque Ay tend à devenir nulle , et que * est la limite

«yax

vers laquelle tend

/fr+As,y+ Ay)— /(j h- xc,y) f(x,y+±y) — f(xfy)

A]e Aj? Ay

tyA*~~ Ai/

lorsque Ax et Ay tendent à devenir nulles. Or, cette dernière quantité ne différant point de la précédente, leurs limites

sont aussi égales entre elles. Donc — ^ = *~-« Ainsi, li1

difdx dxatj

coefficient différentiel du second ordre pris par rapport aux

deux variables x et j/ est identiquement le m A me , soit que

1" kWXÈE. "1

l'on différentie en premier lieu par rapport à a ou par rapport à y. C'est ce qu'on exprime en disant que Tordre des dififérentîations n'influe pas sur les résultats.

H en résulte que l'expression de la différentielle du second ordre de la fonction proposée *, donnée dans le numéro précédent, doit s'écrire