Soit en premier lieu comme dans le n° 43, l'équation

f(xfy)=zO,

dans laquelle x est la variable indépendante et y une fonction de x donnée implicitement par cette équation. La question consiste à trouver, sans résoudre l'équation , les expres-

dy d*y d*y sions des coefficients différentiels -t-,t-t>t"t> etc. , de la

dx dx% dx*7 '

fonction y. On a déjà vu dans le numéro cité, que Ton avait,

par une différentiation , l'équation différentielle du premier

ordre

dx + dydx~^ Û0U dx~ df'

Si l'on différentie une seconde fois , en se rappelant que

les fonctions -j->-r- contiennent les deux variables x, y, et

que y doit être regardée comme fonction de x , on trouvera l'équation différentielle du second ordre

dy dx*

,a 41 4l±41(4MWdf *»„

+ 1dxdy dx + dy*\dx) + dy d**-0'

d'où l'on tire, après avoir mis pour -^- la valeur précédente,

éafi ~

dx*\dtf} à

dxdy dx dy

tffjdfy

dtf\dx)

Celte expression s'obtiendrait également en \\ ifférenl iant la

valeur de — .

On continuera de la même manière pour former les coefficients différentiels des ordres supérieurs au second.

73. Les mêmes notions conviennent aux cas où il y aurait un plus grand nombre de variables et d'équations proposées. Tout se réduit à appliquer le procédé de la différentiation , afin de former des équations différentielles d'un ordre déplus m plus élevé , et dont on pourra toujours déduire les expressions des coefficients différentiels des fonctions qui ne sont données que d'une manière implicite. Nous considérerons le cas le plus simple après le précédent. Soient les deux équations

dans lesquelles x est la variable indépendante f y et z deux fonctions de cette variable déterminées par ces équations. En les dîfférentiant une première fois, il viendra

df di dF

df dy df &

dp tir dz dx *

dF dp dF dz dx* dy dx* dz â*~Vi

équations du premier ordre , d'où Ton déduira par Vélimi-

nation

df dF dF df

dF df df dF

dx dz dx dz

dx dy dx dy

df dF dF df

dy dz dy dz

En différentiant les équations précédentes, on trquvera ensuite

*L + * *L Êl+»*L * + *L(Èt\\%*L «M*?* dx***dxdy dx* dxdz dx * dy*\dx) *ddydz dx dx*

, *l(dz\\ V*y , rff^f 0 "!" dz*\dx) * dy dx%* dz dx%" *

«PF 2^*F dy + 2-*L *** , ^F/dyy 2 d?F dy dz >' dxdy dx dxdz dx dy*\dxj dydz dx dx

dz'

/<teV , <*F d'y dF <Pz \dx) * dy dx'* dz dx*~~ '

équations du second ordre , dont on tirera les expressions

. d'y ±d'x v . . dy . dx%

de j-îj et j-5, après avoir substitué pour -p et — les valeurs

précédentes.

Ces mêmes expressions de -p^ et -r-r peuvent également

ayr axr

être obtenues en différentiant immédiatement les valeurs précédentes de ? et t-.

En continuant de la même manière, on obtiendrait les coefficients différentiels des ordres supérieurs des fonctions y et*.