IX. CHANGEMENT US U VAlUBJ*! INUifENDANTE

11. Nous avons indiqué dans le n« a la nécessité de distinguer dans chaque question les variables indépendantes , c'c

à-dire dont les valeurs sont arbitraires, et les variables fouettons de celles-ci. Ces notions ont été reproduites dans le n° 43. Les opérations analytiques qui constituent le ealoul différentiel sont essentiellement fondées sur la distinction dont il s'agit , qui doit être maintenue dans toute l'étendue de ces équations, puisque les différentiations successives s'opèrent toujours en regardant comme des facteurs ooastants les différentielles des variables indépendantes, tandis que l'on fait varier les différentielles des autres variables. On peut toutefois, en employant certaines transformation!, substituer dans le cours d'un calcul de nouvelles variables indépendantes à celles que l'on avait d'abord choisies.

Pour se former une idée juste des transformations dont il s'agit , on se représentera que la résolution d'une question aurait conduit à une équation telle que

dans laquelle x serait regardée comme la variable indépendante, et y comme fonction de x. Cette équatiop établit une relation entre x, y, et les coefficients différen-

dy d*y d'y

ï?' S**' 7**' ***"' ^ exPnmen* respectivement les

limites des rapports subsistants entre les variations simul-

tanées de x et des fonctions yf -p, -73, etc. On admet

maintenant que x doit cesser d'être prise pour variable indépendante, et que l'pn en prendra une autre désignée par t. Il est entendu par là que x et y deviendront des fonctions de f ; et néanmoins la dépendance établie primitivement entre ces deux variables x et y ne doit pas cesser de subsister. La relation qui liera I aux variables x et y, doit être donnée, soit

par une équation entre * et x, telle que 4> (f, x) = 0> soit par

une équation entre t et y, telle que V(f, y)=0, soit enfin

par une équation entre les trois variables, n (f, x, y) =0.

Cela posé , il est visible que les coefficients différen-

dy d*y <Py tiels -~, -r*î, -r^j etc., qui entrent dans l'équation F=0,

doivent être remplacés par d'autres coefficients différentiels de la fonction y pris par rapport à t. Il s'agit d'opérer ce changement en conservant la dépendance de y à x. On y parviendra en remarquant simplement que quand x est fonction de I, et y fonction de xy on a, d'après la règle du n° U.

dy^dydx dt" dx dt9

d'où Ton tire

dx~ dx' dt

expression qui doit être mise à la place de ~- dans l'équation F = 0.

Cette première expression donne immédiatement celle des coefficients différentiels des ordres supérieurs. Car en différentiant les deux membres de l'équation précédente par rapport à t, et par conséquent regardant dt comme constante, il vient

dx^V dy <Px

<Py dx dt dt* dt dt* dx* dt" /dx\* '

ou bien