Les formules précédentes conduisent immédiatement

à IWpfpssian de la différentielle des fonctions inverses

■ : iv ;J3).

LquatioN

w = tr donne -J- — — «

nt regardée comme la variable indépendante. Si l'on

vtur maintenant que y soit la variable indépendante, on

nuiplaeera ~ par -j- , te qui donnera

«fc

hIiil. en mettant pour j" sa valeur en y , qui est *",

rf.e*

L'équation

y & sin-a donne -^ = cps, ^ »

J était regardée comme la variable indépendante* Si la va-

n*Wé indépendante doit être y, on écrira

1 dx i

j- = C09*,T t OU -j- — ,

dx an CM..T

c'est-à-dire , en mettant pour # sa valeur are sin.y,

darcsin*j t

rftf ?i— tf»'

L'équation

y = tufr* donne % = ■£&'

Donc

1 1 dr-/lAB. .„ rf.arctang.y 1

dy

78. Les mêmes considérations s'appliquent aux cas où le nombre des variables est plus considérable. Si Ton avait, par exemple , l'équation

F("'*'*âf' al' etc-> z>% è> etc-)=0'

dans laquelle v et x désignent les deux variables indépendantes, y et x deux fonctions de ces variables , et qu'on voulût ensuite prendre pour variables indépendantes $ et f , on remarquerait que v et x devenant fonctions de s et f, tandis que y et x ne cessent point d'être fonctions de v et x , on a

dy __ dy dv dy dx dy dy dv dy dx m

ds~ do rfs + dx ds* dt ~~ do dt dx dt '

d'où l'on déduit par l'élimination

dy dx dydx dy dv dy do

dy dt ds ds dt dy__ ds dt" dt ds

rfy~~c« dx çfo* dx~~ dx dv dx do*

ds dt dt ds rfsrfr dt ds

dz dx „.

On obtiendrait des expressions semblables pour — et — . Si

dy dy l'on différentie les deux expressions précédentes de -^ et -j-

rapport a s et l . on aura trois équations d'où I on pourra tirer les expressions des trois coefficients différentiels du second 4^ d*y d-tj

dv>

«mire

et ainsi des autres coefficients diffé-

ds- dxdv

retitiek il serait superflu de continuer plus loin la recherche de ces forai nies générales, parce qu'il convient mieux d'opéra dans les applications sur les expressions analytiques qui * présentent.

T9. Le changement des variables indépendantes a principdemeni lieu dans la géométrie, lorsqu'on veut passer d'un fjiième de coordonnées à un autre. Admettons, par exemple, fK dans l'équation

*(*'»>%' 3-etc-)=°>

• Il y représentait deux coordonnées vpt mp (fig. 23) comptées sur deux axes rectangulaires, et qu'on veuille remplace j par l'angle w formé par le rayon vecteur oro avec IW des x. On aura donc

Ling.i

Cette équation, étant différent iée plusieurs fois de suite par fapporl àut dont y et x sont fonctions, donnera des équa-

djC il' l

foc* dont on tirera les valeurs de —, -7-7, etc. , qui de-

dti> atii

ïmot être substituées dans les formules du n° 74. Les valeurs

«te coefficients différentiels ~ , -hL etc. , représentées par ds qjt*

ce* formules étant substituées dans l'équation F = 0 , cette

du d*ii rçuation sera entre w,if,-p, -— , etc.

a tu aw

Si l'on veut ohanger entièrement le système des coordonnées , en introduisant à la place de y la longueur du rayon vecteur om , que nous désignerons par p, on poserait après l'équation précédente

y — psin.ci>,

61 dffiéTetitteflt cette équation plusieurs fois de suite par

rapport à <*, p étant regardée comme variable, on obtien-

dv rf*u drait des équations dont on tirerait les valeurs de -£-, -A

étaè, qui devraient dire instituées dans l'équation proposée,

dp d*p qui sera alors entre o>, p, -f- , -—- , etc.

Mais dans ce dernier Cas il eût été plus simple de poser immédiatement

x = p cos. a) , y = p sin. «*> ,

et dé déduire de m dernières équations les Valeurs de

dx éPx du d*v . ,

— , -t-t , etc. , et -—- , -j-^. etc. Ces valeurs étant substituées aw aw" aw aw*

dans les formules du n* *74, on obtiendrait ainsi les valeurs de -j^> -r^, etc«, eii w> p, -jS -j?> etc. > qui devraient être substituées dans l'équation proposée.

X. EXPRESSION GBN&lÀLË Dtî DEVELOPPEMENT D'UNE FONCTION SOTA5T LB9 PUISSANCES ENTIÈRES fJB LA VARIABtB* THfoftfalB DE TATLOR.

80. La considération des coefficients différentiels ou des fonctions dérivées des divers ordres, donne les moyens de

développer une fonction quelconque en une série infinie ordonnée par rapport mn puissances entières de la variable* Soit la fonction proposée

En revenant aut notions présentées dans l'article VI , et continuant le tableau du n" 50, on en déduira par de simples! substitutions, pour les râleurs correspondantes de x et y ,

* "y =y x+31i\=y+3ty+3A«0+A*0

x+iùx

y.=y+ nAy+g^ A«y+ *^*M> A'y+....+A>

L'expression de yn est indépendante de la nature de la fonction : elle peut toujours être formée tant que cette fonction ne prend point des valeurs infinies dans l'intervalle des valeurs x et x + *A* de la variable. Ainsi nous pouvons

écrire

ou bien encore

Cstte équation subsiste, quelle que soit la grandeur attribuée

à intervalle constant Aar, et que* que soit le nombne n. Admettons que l'intervalle nkr (qui sépare les valeurs dé a? auxquelles répondent les valeurs y et i/„ de la fonction ) demeurant constant , on fasse diminuer indéfiniment àjc , et augmenter indéfiniment le nombre n dans la môme proportion. L'équation précédente ne cessera pas de subsister, et l'on peut espérer d'avoir encore un résultat exact en remplaçant chaque terme par la limite vers laquelle il tend lorsque Ax tend à devenir nulle. Or, il est visible que la limite

commune des fractions 1 ,1 — — -, etc. , est l'unité , et

Ai/ A'tf A'v

que les limites des rapports — , ■— ^, —~, etc., sont les

coefficients différentiels Ou fonctions dérivées -~- , -j~, -r-^,

dx dx* dbc%

etc. Donc en faisant pour abréger nAx = A, on voit que

l'équation

conduit à la suivante

*r . m.\ . u dy , à* d*y , A8 d*y , hk dky

que Ton écrit souvent d'après Lagrange

f(x+h)=f(x)+hf'(x)+£nx)+^r(*)+ âsi^w+etc.

en employant pour les coefficients différentiels ou fonctions dérivées la notation proposée par ce grand géomètre. Cette expression remarquable, appelée théorème ou formule de Taylor, du nom de son auteur, dpit être regardée comme

l'élément principal du calcul différentiel et de ses appfica- ' tions. Pour rendre rigoureuse l'analyse précédente, qui du reste a toute ta généralité possible, il aurait fallu examiner de plus près ce qui arrive quand on passe à la limite en faisant Ax nulle et n infini. Mais nous donnerons dans les numérus suivants (nM 84 à 87 ) une autre démonstration (et celle-là complète au moins pour le cas de a:, h, f(x) et f[x + h) réelles) de la formule de Taylor, en cherchant ce qu'il faut ajouter aux p premiers termes de la série placée au second membre pour avoir la valeur exacte du premier membre f[ x +fc). En attendant admettons cette formule comme vraie, et ajoutons quelques remarques.

81. En faisant x=0 dans la formule de Taylor, et désignant par y0, -~ , j~ , etc., les valeurs particulières et con-

dy d*y Nantes que prennent alors les fonctions y, -~-y j^, etc., il vient

AW-tfc+A ^ + 2 ^ + 2,3 ^ + 2.3.Û daï +eXC' • ou , en mettant x au lieu de h,

r^yo+v-dx + 2Ë« + r3S + 2i:4S + etc;

Cette dernière formule est connue sous le nom de série de Maclaurin. Quand on emploie la notation de Lagrange, on écrit

f(*)=f(o)+xno)+ f rw+ Ê ho)+ 2^ rw+etc.

En remplaçant x par a et h par x — a dans la formule du n° 80, on trouve encore

Ces formules et celle du û* 80 dont eHes tout déduites servent à développer une fonction suivant les puissances entières de la variable x>x — a, ou A. En général , la série se prolonge à l'infini. Les fonctions algébriques entières composées de termes de la forme § ar*, m étant un nombre entier positif, produisent seules des suites finies , les coefficients différentiels de far y d'un ordre supérieur à m, étant nuls comme on Ta remarqué n# 56. n est d'ailleurs évident que si les dévelbppements de f(x -f A) et de f(x) ne renferment qu'un nombre limité de termes, ils se réduisent alors à des polytoomes entiers. Si , par exemple, les dérivées f m+l(0), f+'fe) , etc. , soet toutes nulles, 0 reste simplement

t{i) £ f(0) + ir (0) + + ^£^ f* (0) ,

en sorte que f(x) est, dans cette hypothèse, une fonction atfeébricjtië entière du ribgtë H.