L'équation

R^JW + aflM + e*.

est bien facile à établir par la méthode des coefficients ihriéterminés, lorsque l'on sait, à priori, que la fonction f[x) est développable en une série de la forme A-f Bar+-C*l + Dx* + etc. Posons en effet

(1) /p(*)=A+te + tel + D*»+.

Pour déterminer les constantes inconhues A>B> C,D,.... on prendra \è$ dérivées successives de l'équation (l), ce qui donnera

H*)=ac+2.3i>» + .....

et en faisant ensuite x = 0, oo aura

Ai résulte l'équation qu'il fallait démontrer,

Qd arrivera de Ja même manière à la série de Taylor, eu posant

et en diflerenliaiit plusieurs fois de suite par rapport à A, ce

qui donne

^^=« + iaM4 .

Faisons * + A=«, d'où ^(z + A)=fln): par le principe

des fonctions de fonctions , il vient

on trouve semblablement ,

et ainsi de suite, de sorte que, pour h = 0, les dérivées «woessives

4/U + AJ J/Cr+AJ

wnt respectivement égales à

fC*K rw, etc.

En jusant donc A = 0 dans les équations (î), (3), (*),**„

on obtiendra

A= fix), B = f'{x), C = £^ , etc. C. 0. F. D.

On remarquera en passant que les deux dérivées

df(x+h) df(x+h) dx ' dh

ont pour expression commune f{u), et sont par suite égales entre elles, et qu'il en est de même des dérivées des ordres supérieurs , en sorte que

dnf(x+h) dnf(x+h) dx* dtin

83. Rien ne déterminant dans les formules du n° 81 la valeur de x , ni la valeur de h dans la formule du n° 80, la fonction y se trouve exprimée dans toute son étendue, ce qui est très-remarqùable , au moyen de la valeur de cette fonction et des valeurs de ses coefficients différentiels des divers ordres qui répondent à une seule valeur de x. Ainsi donner les valeurs de la fonction et des coefficients différentiels pour une seule valeur de la variable , équivaut en général à donner la fonction elle-même. Mais il importe d'observer que chacune de ces séries ne peut être égale à la fonction correspondante fi*] ou f(x-\-h), et même n'a de sens, qu'autant qu'elle est convergente, c'est-à-dire qu'autant que les valeurs obtenues, en prenant un nombre de termes de plus en plus grand, s'approchent de plus en plus d'une certaine limite; ou, ce qui est la même chose, qu'autant que l'on peut assigner deux limites aussi resserrées qu'on le veut, entre lesquelles la valeur obtenue se trouvera toujours comprise, quelque grand que soit le nombre des termes que l'on ajoute. Dans quelques cas, la convergence d'une série est manifeste; par exemple.

lorsque les tenues diminuent progressivement à partir du premier* et sont alternativement positifs et négatifs, les résultats donnent évidemment des nombres qui diffèrent de moins en moins, et convergent vers un nombre intermédiaire, Lorsque les termes sont de même signe , la série est convergente si tous sont moindres que les termes correspondants d'une progression géométrique dont la raison est plus petite que l'unité. Au contraire elle est divergente, si tous les termes sont plus grands que ceux d'une progression géométrique dont la raison est l'unité, ou plus grande que l'unité. En général, un aampn spécial est nécessaire pour s'assurer si une série est i>u non convergente.

U> Pour résoudre cett<' question en ce qui concerne la série de Taylor dans le cas ordinaire de quantités réelles auquH tous les autres peuvent se ramener, et aussi pour trouver avec quel degré d'approximation la somme des p premiers taOQM de cette série peut fournir la valeur de f\x-\-h) , cherchons I expression du complément ou reste qu'on devrait ajouter à 1a somme indiquée pour avoir f(x -f- h) exactement. Essayons d'assigner deux limites entre lesquelles ce reste soit compris.

On parvient, au moyen d'un lemnie très-simple, à déterminer les limites dont il s'agit. Soit une fonction quelconque ?( À) dont la valeur soit nulle quand la variable A=^0 : on peut affirmer que si depuis h =0 jusqu'à une dernière valeur positive À,

le coefficient différentiel

dh

est constamment positif ou

constamment négatif, et ne devient pm infini, la valeur de <p(A) sera positive ou négative, c'est-à-dire du même signe que le

coefficient différentiel fcn effet, tant que

dh

est positif et

liriL la fonction cfûlî positivement mesure que h augmentent bnqn'il eri négatif et Hni, cette même fonction croit négatt-

veinent. Mais cette proposition ne subsisterait phis dans les

«as où le coefficient différentiel deviendrait infini une ou phi-

sieurs fois dans l'intervalle de 0 à h.

Cela posé, comparons f(x+h) au premier terme f{x),

puis à ta somma des deux , des trois, enfin des p. premiers

h* termes de la Sjérie A^J+VW+f A*) +e*c«» e* Vwx $&*

tes idées, supposons h positive et variable à volonté depuis 0 jusqu'à une dernière valeur h. Ne prenant d'abord que le premier terne f(x) , écrivons

U étant une quantité inconnue, qui, lorsque h tend à devenir

d.f(x) nulle, tend à devenir égale à " . La question consiste à

déterminer deux limitas P, Q entre lesquelles k quantité o se trouve copipràei et qui soient teUes que l'on ait, quelle que *wt*>

/(* + A)<f(a;)+AQ< ou bien

fl* + A) — f{x) — AP>0 f(* + A)-ftr)-AQ<0.

Mais d'après le leoupe précédent , la première de ces fonctions (dont la valeur est nulle lorsque A = 0) sera positive, et la seconde sera négative, si leurs coefficients différentiels pris par rapport à h sont puMttémes positifs ou négatife, et ne deviennent point infinis , depuis k = 0 jusqu'à h = h-, c'està-dire si Ton a