SI

à cette condition y ^ prenant pour F la phi* petite de

toutes les valeurs que pregd la fraction ,^ depuis

* = 0 jusqu'à A = A ; 2° eq preuaçt pour Q la plus grande des valeurs que prend la mên^ fonction dans le même intervalle.

Admettons maintenant que l'on prenne les deux premiers

d.flx) termes f[x) + k y ' du développement. On déterminera

les limites du reste de la série en assignant les valeurs de P çt Q, de manière que Ton ait, quelle que soit h,

ou bien

«*+A)fl,)-A^--Çp>0 «*+/>)- ^-a^- Çq<o.

Les premiers membres sont nuls pour fc=0: donc, d'après le lemme déjà cité, les conditions que je viens décrire seront satisfaites si le coefficient différentiel de la première fonction est positif dans Intervalle de 0 £ 4, et ai le coefficient différentiel de la seconde est négatif dans ce même intervalle, c'est-àdire si Ton a

ah dx

(Lf(x+h) <Lf(x)

— rfS~+^5 — *Q<0-

Mais ces conditions seront elles-mêmes satisfaites si, différentiant de nouveau par rapport à h , on pose

Donc on doit prendre ici respectivement pour P et Q la plus petite et }a plus grande des valeurs qui peuvent appartenir au

coefficient différentiel du second ordre ,.T , dans Finan2

tervalle de 0 à fc.

Supposons encore que prenant les trois premiers ternies

f (x) + h -^r— + -5- / 1 du développement, on veuille

assigner les limites du reste. Il s'agira donc de déterminer P et Q de manière que l'on ait

Or ces conditions seront satisfaites si l'on a

<Lf(x+h) a\f(x) h*.f(x) ft'p>0 dh dx dx* 2

dh dx dx* 2

Ces dernières le seront elle-mémes si Ton a

c'est-à-dire si Ton prend pour P ia plus petite , et pour Q la

plus grande des valeurs qu'affectera la fonction wjLa — dans l'intervalle de 0 à A,

En continuant de la même manière , on voit que tant que les coefficients différentiels ne deviennent point infinis , on peut développer une fonction par la série de Taylor, et sVfêler à un terme quelconque, en fixant les limites de la valeur do reste que Ton néglige. Nous remarquerons d'ailleurs que les

coefficientsdifférentieis

poÎDt de

dk

dx ' dx* >™*"~~ du ' dut si u se x -f- A. On est donc assuré que la valeur de la série est toujours comprise entre celles des deux expressions suivantes :

,.*fW , ^dKf(s) »■ dKf(w)

P tin désignant respectivement la plus petite et la plus grande vite que pâme prendre le eœfficieni dilîcrcntiel

lentes les valeur* de \a variable comprises entra r el r -|- h*